Algebra, zadanie nr 2213

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
polkiuyt postów: 34	2014-03-10 18:16:02 Wykaż, że pierścień R jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy R$\neq 0$ oraz każdy ideał w R jest albo zerowy albo równy R.

tumor postów: 8070	2014-03-28 10:35:42 Ciało ma co najmniej dwa elementy: $0,1$. Jeśli teraz $I$ jest ideałem w ciele i $0 \neq a\in I$, to istnieje w ciele element $a^{-1}$, z definicji $aa^{-1}\in I$, czyli $1 \in I$, a z tego wprost wynika, że $I=R$. ---- W drugą stronę, jeśli pierścień $R$ ma tylko dwa ideały, $\{0\}$ i $R$, to $\{0\}$ jest ideałem maksymalnym. Wówczas wszystkie elementy $R$ są odwracalne. W przeciwnym razie oznaczmy element nieodwracalny przez $a$. Wówczas niech I będzie ideałem generowanym przez $a$. $I$ jest właściwy, bowiem $<a>=\{xa: x\in P\}$, gdyby zaś $1=ax$ dla pewnego $x$, to $x=a^{-1}$. Uzyskaliśmy sprzeczność, czyli wszystkie elementy są odwracalne. Przy tym zakładałem tu, że "pierścień" oznacza pierścień przemienny z jedynką. ----- Całe zadanie można rozwiązać od razu, jeśli dowiedziono na wykładzie twierdzenia, że $I$ jest maksymalny wtw $R/I$ jest ciałem. Oczywisty jest izomorfizm $R/I \approx R$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj