Analiza matematyczna, zadanie nr 2244

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
nusiaterka postów: 20	2014-03-21 17:52:44 Mam takie zadanie: korzystając z definicji granicy uzasadnić podane równości: a)$ \lim_{ \left( x,y\right) \to \left( 1,2\right) } \frac{2x-y}{x^2+y^2}=0 $ b)$ \lim_{ \left( x,y\right) \to \left( -3,4\right) } \sqrt{x^2+y^2}=5 $

abcdefgh postów: 1255	2014-03-21 19:06:59 a)weźmy ciąg $(xn,yn)=(\frac{1}{n}+1,2)$ $\frac{2(\frac{1}{n}+1)-2}{(\frac{1}{n}+1)^2+4}=\frac{\frac{2}{n}}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}+1+4}=\frac{\frac{2}{n}}{5+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\rightarrow_{n \to \infty}0$

abcdefgh postów: 1255	2014-03-21 19:11:34 b) weźmy ciąg (xn,yn)=$(\frac{1}{n}-3,4)$ $\sqrt{(\frac{1}{n}-3)^2+4^2}=\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n}+9+16}=\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n}+25} \rightarrow_{n \to \infty}\sqrt{25}=5$

tumor postów: 8070	2014-03-22 09:36:21 a) chcemy dla każdego $\epsilon>0$ mieć $0-\epsilon \le \frac{2x-y}{x^2+y^2} \le 0+\epsilon$ Jeśli ($x_n,y_n) \rightarrow (1,2)$, to znaczy, że dla $\frac{1}{2}>\delta>0$ i dla $n>n_0$ mamy $1-\delta \le x_n \le 1+\delta$ $2-\delta \le y_n \le 2+\delta$ (Poniżej omijam indeksy, bo mi się ich nie chce pisać, ale wszędzie jest $x_n, y_n$) Stąd $-3\delta \le (2x-y)\le 3\delta$ oraz $5-6\delta+2\delta^2\le x^2+y^2 \le 5+6\delta+2\delta^2$ Zatem $\frac{-3\delta}{5-6\delta+2\delta^2} \le \frac{2x-y}{x^2+y^2} \le \frac{3\delta}{5-6\delta+2\delta^2}$ czyli $\frac{-1}{\frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta} \le \frac{2x-y}{x^2+y^2} \le \frac{1}{\frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta}$ Pozostaje pokazać, że dla dowolnego $\epsilon>0$ istnieje $\delta \in (0;\frac{1}{2})$ taka, że $\frac{1}{\frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta} \le \epsilon$ czyli $\frac{1}{\epsilon} \le \frac{5}{3\delta}-2+\frac{2}{3}\delta$ co dość oczywiste, bo przy dodatniej $\delta$ malejącej do $0$ prawa strona rośnie do nieskończoności. ---- Uwagi Cała metoda polega na pokazaniu, że dla KAŻDEGO ciągu $x_n,y_n$ zbieżnego do $(1;2)$ dostaniemy $f(x_n,y_n) \rightarrow 0$. Jest ABSOLUTNIE niewystarczające pokazać, że dzieje się to dla jakiegoś jednego wybranego ciągu, jak zrobiła abcdefgh. Nierówność $0<\delta<\frac{1}{2}$ uzasadniona jest uproszczeniem liczenia (żeby mi się nie wyzerował mianownik, żeby pozostał dodatni). W definicji Cauchy'ego granicy ciągu wystarcza istnienie $\delta>0$, więc jeśli pokażę, że istnieje taka $\delta$ przy okazji mniejsza od $\frac{1}{2}$ to się nic złego nie dzieje. Gdyby w zadaniu nie trzeba było korzystać z definicji granicy funkcji, moglibyśmy skorzystać z ciągłości. Nie trzeba by było brać ciągu $(1+\frac{1}{n},2)$ jak zrobiła abcdefgh, wystarczyłby ciąg stały $(1;2)$, bowiem mianownik się dla tych wartości nie zeruje, funkcja jest określona, granica istnieje i jest równa wartości funkcji w punkcie i po kłopocie. Zatem wersja abcdefgh jest zbyt skomplikowana, jeśli ignorujemy polecenie, a niewystarczająca, jeśli robimy zadanie tak, jak się od nas wymaga. ;) Pozdro. :)

tumor postów: 8070	2014-03-22 10:24:03 No i jeszcze jedna uwaga. Na dobrą sprawę korzystam z uproszczonej wersji granicy dla przestrzeni metrycznych i z równoważności metryk euklidesowej i maksimum. ;) W skrócie $(x_n,y_n) \rightarrow (1;2) \iff \sqrt{(x_n-1)^2+(y_n-2)^2} \rightarrow 0 \iff max(x_n-1,y_n-2) \rightarrow 0$ ----- b) Podobnie jak wyżej $(x_n,y_n)\rightarrow (-3;4) $ oznacza, że dla $1>\delta>0$ i $n>n_0$ mamy $-3-\delta \le x_n \le -3+\delta$ $4-\delta \le y_n \le 4+\delta$ (pomijam indeksy przy $x,y$, żeby mi się szybciej pisało) Zatem $\sqrt{25-14\delta+2\delta^2} \le \sqrt{x^2+y^2} \le \sqrt{25+14\delta+2\delta^2}$ Zauważmy, że dla ustalonego $1>\epsilon>0$ i dla $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ mamy $5-\epsilon = \sqrt{25-10\epsilon+\epsilon^2} \le \sqrt{25-14\delta+2\delta^2} $ oraz $\sqrt{25+14\delta+2\delta^2} \le \sqrt{25+10\epsilon+\epsilon^2} = 5+\epsilon$ Uwaga przyjęcie $\epsilon<1$ jest znów niekonieczne, ale wygodne. W granicach chodzi wszak o $\epsilon$ i $\delta$ małe, a nie ogromne. Jeśli przyjęta $\delta$ zadziała dla $\epsilon$ sztucznie zmniejszonego, to zadziała i dla większego. Wówczas dla ścisłości się pisze, że np dla $\epsilon \ge 1$ przyjmujemy $\delta=\frac{1}{2}$ i należy pokazać tezę przy takich danych, co z reguły (jak w tym przykładzie) jest łatwiejsze.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj