Analiza matematyczna, zadanie nr 2249
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| szyszunia07 postów: 24 |  2014-03-23 12:25:31Korzystając z def. granicy niewłaściwej funkcji uzasadnić podane równości: a)$ \lim_{ \left(x,y \right) \to \left( 0,0\right) } \frac{1}{x^4+y^4} = \infty $ b)$ \lim_{ \left(x,y \right) \to \left( 1,0\right) } \ln \left( \left( x-1\right)^2+y^2 \right) = -\infty $ Proszę o pomoc w tym zadaniu. |
| szyszunia07 postów: 24 | 2014-03-23 22:29:31 Czy tutaj mam coś podstawić za x i y? Proszę o pomoc. |
| tumor postów: 8070 | 2014-03-24 07:22:04 a) Skorzystamy sobie z definicji mówiącej, że dla każdego ciągu $(x_n,y_n)$ zbieżnego do $(0,0)$ (przy tym $(x_n,y_n) \neq (0,0)$) i dla każdego $M\in N^+$ istnieje $n_0$, że dla $n>n_0$ zachodzi $\frac{1}{x_n^4+y_n^4}>M$ Ustalmy zatem $M$ i niech $(x_n,y_n)$ będzie zbieżny do $(0,0)$, czyli $max(|x_n|,|y_n|)$ zbieżny do $0$. Oznacza to, że dla $\delta=\frac{1}{2M}$ istnieje $n_0$ takie, że dla $n>n_0 $ zachodzi $|x_n|<\delta$ $|y_n|<\delta$ $x_n^4<\delta$ $y_n^4<\delta$ $x_n^4+y_n^4<2\delta=\frac{1}{M}$ czyli $\frac{1}{x_n^4+y_n^4}>M$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-03-24 07:34:48 b) Analogicznie - dla każdego ciągu $(x_n,y_n)$ zbieżnego do $(1,0)$ (przy tym $(x_n,y_n) \neq (1,0)$) i dla każdego $M\in N^+$ istnieje $n_0$, że dla $n>n_0$ zachodzi $ln((x-1)^2+y^2)<-M$ Ustalmy zatem $M$ i niech $(x_n,y_n)$ będzie zbieżny do $(1,0)$, czyli $max(|x_n-1|,|y_n|)$ zbieżny do $0$. Oznacza to, że dla $\delta=\frac{1}{2}e^{-M}$ istnieje $n_0$ takie, że dla $n>n_0 $ zachodzi $|x_n-1|<\delta$ $|y_n|<\delta$ $(x_n-1)^2<\delta$ $y_n^2<\delta$ $(x_n-1)^2+y_n^2<2\delta=e^{-M}$ czyli $ln((x-1)^2+y^2)<-M$ ----- Uwaga. Opieram się na fakcie, który na zajęciach był i który sobie należy przypomnieć, że $(a_n, b_n, c_n,...,z_n) \rightarrow (a_0, b_0, c_0,...,z_0) \iff a_n \to a_0 \wedge b_n\to b_0 \wedge ... \wedge z_n\to z_0 \iff max(|a_n-a_0|,|b_n-b_0|,...,|x_n-z_0|)\to 0$ Poza tym zamiast się męcząco pytać "jak to zrobić" lepiej zacząć coś robić. Więcej się nauczysz w ten sposób, próbując. Dając jakieś pomysły. Jak będą złe, to ktoś skoryguje. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj