Algebra, zadanie nr 2257

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
monte25 postów: 1	2014-03-27 20:34:11 Witam, bardzo potrzebuję rozwiązanie tego zadania ale z algebrą u mnie jest źle.. Niech a i b będą elementami algebraicznymi nad ciałem k stopni odpowiednio q i r, przy czym (q,r)=1. Udowodnić, że (K(a,b):K)=qr. odp: (K(a,b) : K) = (K(a,b) : K(a)) (K(a) : K). Z założenia (K(a):K)=q, na podstawie zad 18 wielomian minimalny elementu b jest nierozkładalny nad K(a), więc (K(a,b) : K(a)) = r. Stąd otrzymujemy tezę. odp do zad 18: Niech st f=n, (L:K) = k, (n,k)=1. Przypuśćmy, że f rozkłada się w L[X] , f=$f_{1} \cdot f_{2} \cdot ... \cdot f_{r}$, gdzie $f_{i} \in L[X] $ są nierozkładalne w L[X]. Wielomian f ma w pewnym rozszerzeniu pierwiastek $ a_{1}, a_{1} $ jest więc pierwiastkiem pewnego czynnika tego rozkładu np. $f_{1}.$ Mamy $(K(a_{1}):K)=n.$ Z drugiej strony $ K \subset L \subset L(a_{1})$, więc $(L(a_{1} :K)=(L(a_{1}):L)(L:K)=s \cdot k $, gdzie s jest stopniem wielomianu $ f_{1}$. Ponieważ $ K \subset K(a_{1}) \subset L(a_{1}, więc (L(a_{1}):K) $ jest liczbą podzielną przez n. Mamy więc n\|s. Ponieważ jednak $ n=st f = st f_{1} + st f_{2} +...+ st f_{r} = s+st f_{2} + ... +st f_{r},$ więc n=s, $ st f_{2}=...=st f_{r} = $ 0 a to oznacza, że f jest nierozkładalny.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj