Algebra, zadanie nr 2262
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
gusia114 post贸w: 2 |  2014-03-29 16:40:26nie wiem czy to nale偶y do tego dzia艂u... ale c贸偶 pr贸buje... mam wyznaczy膰 wszystkie takie funkcje $f:R \rightarrow R$ 偶e dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y spe艂niona jest r贸wno艣膰 $(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x ^{2} - y ^{2}$ |
gusia114 post贸w: 2 | 2014-03-29 16:41:49 pr贸bowa艂am to rozwi膮za膰 2 sposobami i utkn臋艂am... pierwszy dziel臋 strony $\frac{(x-y)f(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x+y)f(x-y)}{(x-y)(x+y)} = 4xy$ i z tego wychodzi $\frac{f(x+y)}{x+y} - \frac{f(x-y)}{x-y} = 4xy$ i nie wiem co dalej.... a drugi spos贸b to... wprowadzi膰 zmienne u=x+y v=x-y $x^{2} - y^{2} =uv$ ale nie wiem co zrobi膰 z 4xy.... Pom贸偶cie kt贸rym sposobem i艣膰 i jak.... |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-24 15:55:53 mo偶emy podstawi膰 $u=x+y$ $v=x-y$ $x=\frac{u+v}{2}$ $y=\frac{u-v}{2}$ dostaniemy r贸wnanie $vf(u)-uf(v)=uv(u^2-v^2)$ Je艣li podstawimy sobie $u=-v$ to dostaniemy szybko, 偶e $f(v)=-f(-v)$ czyli szukana funkcja jest nieparzysta. To ma艂o. Spr贸bujmy policzy膰 $f(1)$ $A_1=\frac{1}{3}f(1)-f(\frac{1}{3})=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^3}$ $A_2=\frac{1}{9}f(\frac{1}{3})-\frac{1}{3}f(\frac{1}{9})=\frac{1}{9}*\frac{1}{3}*\frac{1}{9}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^7}$ $A_3=\frac{1}{27}f(\frac{1}{9})-\frac{1}{9}f(\frac{1}{27})=\frac{1}{27}*\frac{1}{9}*\frac{1}{9^2}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^{11}}$ $A_n=\frac{1}{3^n}f(\frac{1}{3^{n-1}})-\frac{1}{3^{n-1}}f(\frac{1}{3^n})=\frac{1}{3^n}*\frac{1}{3^{n-1}}*\frac{1}{9^{n-1}}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^{4n-1}}$ Niech $B_n=3^{2n-1}A_n=\frac{8}{3^{2n}}$ Zauwa偶my, 偶e $f(1)=\sum_{i=1}^{\infty}B_n=B_1*\frac{1}{1-\frac{1}{3^3}}=\frac{8}{3^{2}}*\frac{9}{8}=1$ Czyli po d艂u偶szych zmaganiach osi膮gn臋li艣my $f(1)=1$, a z nieparzysto艣ci mamy te偶 $f(0)=0$ i $f(-1)=-1$. Znaj膮c $f(1)$ spr贸bujmy policzy膰 dowolne $f(x)$. Mamy $1f(x)-xf(1)=1*x*(x^2-1)$ $f(x)=x^3$ Co jest szukan膮 funkcj膮. ------- Je艣li chodzi o spos贸b liczenia, to pr贸bowa艂em najpierw policzy膰 par臋 warto艣ci funkcji (jakie艣 $f(1), f(2), f(3)$) tworz膮c uk艂ady r贸wna艅, ale to si臋 nie uda艂o. Policzy艂em za to kilka r贸偶nic w rodzaju $f(2)-2f(1)=6$ i przypadkowo troch臋 zauwa偶y艂em, 偶e $x^3$ do tych warto艣ci pasuje. Trzeba by艂o jednak sprawdzi膰, czy to jedyna funkcja spe艂niaj膮ca warunki zadania. Wobec tego, 偶e $f(1)$ nie uda艂o mi si臋 liczy膰 sprytnie, policzy艂em sumuj膮c szereg, istotne by艂o, by warto艣ci sumowane odpowiednio mala艂y, 偶eby szereg by艂 zbie偶ny, wzi膮艂em sobie $\frac{1}{3}$, ale raczej dla $\frac{1}{2}$ by艂oby 艂atwiej :P. Liczy艂em r贸偶nice, zsumowa艂em szereg, otrzyma艂em warto艣膰 $f(1)$, a t臋 艂atwo u偶y膰 do obliczenia pozosta艂ych warto艣ci. Bardzo przyjemne zadanie. Gdzie takie daj膮? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj