Algebra, zadanie nr 2262

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
gusia114 postów: 2	2014-03-29 16:40:26 nie wiem czy to należy do tego działu... ale cóż próbuje... mam wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f:R \rightarrow R$ że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y spełniona jest równość $(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x ^{2} - y ^{2}$

gusia114 postów: 2	2014-03-29 16:41:49 próbowałam to rozwiązać 2 sposobami i utknęłam... pierwszy dzielę strony $\frac{(x-y)f(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x+y)f(x-y)}{(x-y)(x+y)} = 4xy$ i z tego wychodzi $\frac{f(x+y)}{x+y} - \frac{f(x-y)}{x-y} = 4xy$ i nie wiem co dalej.... a drugi sposób to... wprowadzić zmienne u=x+y v=x-y $x^{2} - y^{2} =uv$ ale nie wiem co zrobić z 4xy.... Pomóżcie którym sposobem iść i jak....

tumor postów: 8070	2014-06-24 15:55:53 możemy podstawić $u=x+y$ $v=x-y$ $x=\frac{u+v}{2}$ $y=\frac{u-v}{2}$ dostaniemy równanie $vf(u)-uf(v)=uv(u^2-v^2)$ Jeśli podstawimy sobie $u=-v$ to dostaniemy szybko, że $f(v)=-f(-v)$ czyli szukana funkcja jest nieparzysta. To mało. Spróbujmy policzyć $f(1)$ $A_1=\frac{1}{3}f(1)-f(\frac{1}{3})=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^3}$ $A_2=\frac{1}{9}f(\frac{1}{3})-\frac{1}{3}f(\frac{1}{9})=\frac{1}{9}\frac{1}{3}\frac{1}{9}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^7}$ $A_3=\frac{1}{27}f(\frac{1}{9})-\frac{1}{9}f(\frac{1}{27})=\frac{1}{27}\frac{1}{9}\frac{1}{9^2}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^{11}}$ $A_n=\frac{1}{3^n}f(\frac{1}{3^{n-1}})-\frac{1}{3^{n-1}}f(\frac{1}{3^n})=\frac{1}{3^n}\frac{1}{3^{n-1}}\frac{1}{9^{n-1}}(1-\frac{1}{9})=\frac{8}{3^{4n-1}}$ Niech $B_n=3^{2n-1}A_n=\frac{8}{3^{2n}}$ Zauważmy, że $f(1)=\sum_{i=1}^{\infty}B_n=B_1\frac{1}{1-\frac{1}{3^3}}=\frac{8}{3^{2}}\frac{9}{8}=1$ Czyli po dłuższych zmaganiach osiągnęliśmy $f(1)=1$, a z nieparzystości mamy też $f(0)=0$ i $f(-1)=-1$. Znając $f(1)$ spróbujmy policzyć dowolne $f(x)$. Mamy $1f(x)-xf(1)=1x(x^2-1)$ $f(x)=x^3$ Co jest szukaną funkcją. ------- Jeśli chodzi o sposób liczenia, to próbowałem najpierw policzyć parę wartości funkcji (jakieś $f(1), f(2), f(3)$) tworząc układy równań, ale to się nie udało. Policzyłem za to kilka różnic w rodzaju $f(2)-2f(1)=6$ i przypadkowo trochę zauważyłem, że $x^3$ do tych wartości pasuje. Trzeba było jednak sprawdzić, czy to jedyna funkcja spełniająca warunki zadania. Wobec tego, że $f(1)$ nie udało mi się liczyć sprytnie, policzyłem sumując szereg, istotne było, by wartości sumowane odpowiednio malały, żeby szereg był zbieżny, wziąłem sobie $\frac{1}{3}$, ale raczej dla $\frac{1}{2}$ byłoby łatwiej :P. Liczyłem różnice, zsumowałem szereg, otrzymałem wartość $f(1)$, a tę łatwo użyć do obliczenia pozostałych wartości. Bardzo przyjemne zadanie. Gdzie takie dają?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj