Algebra, zadanie nr 2288

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
prof_aleks postów: 3	2014-04-11 16:02:24 Zbadaj własności: Zwrotność, przeciwzwrotność, symetryczność, antysymetryczność, przechodniość poniższych relacji: a) x+y=3 gdzie S={0,1,2,3,} dla każdego x,y nalezacego do S b) \|x-y\|=2 gdzie S={,1,2,3,4} dla każdego x,y nalezacego do S c) x+y jest parzyste gdzie S={0,1,2,3,4} dla każdego x,y nalezacego do S d) x<=y gdzie S={0,1,2,3,4} dla każdego x,y nalezacego do S e) 2\|(x+y)dla każdego x,y nalezacego do N f) x^2=y^2 dla każdego x,y nalezacego do R g) y=x+2 dla każdego x,y nalezacego do Q

tumor postów: 8070	2014-04-11 16:20:59 Widzę, że się komuś nie chciało nawet spróbować. a) Nie jest zwrotna $0+0 \neq 3$. Jest przeciwzwrotna, $\forall_{x \in S}x+x\neq 3$ Jest symetryczna, bo jeśli $a+b=3$, to także $b+a=3$. Nie jest antysymetryczna, $1+2=3$ oraz $2+1=3$ Nie jest przechodnia, $1+2=3$, $2+1=3$, ale $1+1\neq 3$. Inaczej: relacja symetryczna przechodnia musiałaby być zwrotna.

tumor postów: 8070	2014-04-11 16:23:47 b) Jest przeciwzwrotna, $\|x-x\|=0\neq 2$. Jako przeciwzwrotna niepusta nie może być zwrotna. Jest symetryczna, bo $\|x-y\|=\|y-x\|$ Nie jest antysymetryczna, bo $\|2-4\|=2=\|4-2\|$ Nie jest przechodnia, bo $\|2-4\|=2=\|4-2\|$, ale $\|2-2\|=0$

tumor postów: 8070	2014-04-11 16:28:06 c) Można zauważyć sprytnie, że relacja dzieli zbiór na dwa podzbiory (nieparzystych i parzystych). A skoro wyznacza podział, to jest relacją równoważności, czyli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Inaczej zauważamy oddzielnie, że $x+x$ jest parzyste, $x+y=y+x$, oraz z parzystości $x+y$ i $y+z$ wynika parzystość $x+z$ (bowiem parzysta jest na pewno suma $x+2y+z$ i parzyste jest $2y$) Jako zwrotna niepusta nie jest przeciwzwrotna. Nie jest antysymetryczna, $0+2=2+0$ jest parzyste.

tumor postów: 8070	2014-04-11 16:30:53 d) $x \le x$, zatem zwrotna Niepusta, czyli nie jest przeciwzwrotna. Jest antysymetryczna, bo jeśli $a\le b$ i $b \le a$ to $a=b$, nie jest symetryczna, bo $2 \le 3$ Jest przechodnia. $a \le b$ i $b \le c$ implikuje $a\le c$

tumor postów: 8070	2014-04-11 16:34:10 e) dokładnie jak w c), tylko zbiór S się zmienia, ale bez wpływu na własności relacji. f) zwrotna jest, $x^2=x^2$ dla każdego $x\in R$, czyli nie jest przeciwzwrotna. Oczywiście jeśli $x^2=y^2$ to i $y^2=x^2$, zatem jest symetryczna. $(-1)^2=1^2$ zatem nie jest antysymetryczna. Jest przechodnia, bo jeśli $x^2=y^2$ i $y^2=z^2$ to $x^2=z^2$

tumor postów: 8070	2014-04-11 16:37:17 g) jest przeciwzwrotna, $x\neq x+2$, zatem nie jest zwrotna. Jest asymetryczna, bo nigdy nie jest jednocześnie prawdą $a=b+2$ i $b=a+2$, zatem jest antysymetryczna i nie jest symetryczna. Nie jest przechodnia, bo jeśli $a=b+2$ i $b=c+2$ to $a\neq c+2$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj