Analiza matematyczna, zadanie nr 2306

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
felicia postów: 1	2014-04-23 17:49:22 Badanie ciągłości funkcji dwóch zmiennych - proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania i podanie jakiegoś schematu według którego bada się ciągłość funkcji dwóch zmiennych - nie znalazłam w internecie wytłumaczenia, jak to zrobić. a) f(x,y)= $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} dla (x,y)\neq(0,0)$ 0 dla (x,y) = (0,0) b) f(x,y)= $\frac{sin(x^{2}y)}{x^{2}+y^{2}} dla (x,y)\neq (0,0$) 0 dla (x,y) = (0,0)

tumor postów: 8070	2014-04-23 18:59:55 W starożytności matematycy greccy brali swoją kartę biblioteczną i szli do świetnie wyposażonej biblioteki uczelnianej, żeby pożyczyć Krysickiego i Włodarskiego (tom 2), bo poza internetem istniały też KSIĄŻKI. Poza tym mogę przy okazji pokazać, że google też doskonale wyszukują potrzebne materiały i tylko się ośmieszasz gadaniem o szukaniu w necie zakończonym porażką :) W szczególności można znaleźć podręcznik K i W z analizy. Ogólny schemat został też pewnie podany na zajęciach. O ciągłości funkcji w $(x_0,y_0)$ mówimy, gdy $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$ Przy tym udowodniono na wykładzie, że suma/różnica/iloczyn funkcji ciągłych jest ciągły, a gdy dzielnik jest funkcją ciągłą nie przyjmującą wartości $0$ to także iloraz funkcji ciągłych jest ciągły. a) nie musimy zatem sprawdzać ciągłości funkcji w punktach różnych od $(0,0)$, bo wówczas mamy do czynienia z sumą/iloczynem/ilorazem funkcji ciągłych. Musimy tylko sprawdzić, czy $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)=0$ (czyli to miejsce, gdzie "zmienia się wzór funkcji"). Zauważamy naocznie, gdy tylko sobie wyobrazimy tę funkcję, że coś nie bardzo chce być tam ciągła. Pozostaje to jakoś sensownie pokazać. (Gdybyśmy nie zauważali naocznie, moglibyśmy zacząć to podejrzewać, gdy liczenie granicy przez kolejne godziny nie dałoby żadnego efektu). W celu pokazania, że granica nie istnieje bierzemy dwa ciągi, dla których odpowiednie granice będą różne (a co za tym idzie nie będzie spełniona definicja Heinego granicy funkcji o której było na wykładzie). Na przykład pierwszy $(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})$, a drugi $(\frac{1}{n},0)$ Zauważamy, że oba ciągi mają granicę $(0,0)$. Liczymy $\lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})= \frac{1}{2}$ $\lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n},0)= 0$ i pokazaliśmy co należało

tumor postów: 8070	2014-04-23 22:55:21 b) Trzeba się zastanowić, czy istnieje granica $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}$ Jako że $(x,y) \to (0,0)$, możemy zakładać, że $\|x\|<1$ i $\|y\|<1$. Jeśli $x=0$, to wówczas $y\neq 0$, mamy $\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}=0$. Podobnie jeśli $y=0$. Jeśli natomiast $x\neq 0 \neq y$, to $\|\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}\|\le \|\frac{sin(x^2y)}{x^2}\|= \|\frac{sin(x^2y)}{yx^2}\|*\|y\| \le \|y\|$ Skoro $y \to 0$, to $\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}\to 0$. ---- Pisząc ściślej, ustalmy $0< \epsilon<1$. Wówczas dla $-\epsilon < x <\epsilon$ $-\epsilon < y <\epsilon$ spełniony jest warunek $-\epsilon < \frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}<\epsilon$ co oznacza zgodnie z definicją Cauchy'ego istnienie granicy funkcji $\frac{sin(x^2y)}{x^2+y^2}$ w punkcie $(0,0)$ równej $0$. Skoro granica ta równa jest wartości funkcji w punkcie $(0,0)$, to funkcja ta jest ciągła.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj