Inne, zadanie nr 2324

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aku postów: 10	2014-04-30 18:32:40 BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI FUNKCJA: $f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x}$ 5. Określ zachowanie funkcji na krańcach dziedziny (policz granicę i wyznacz asymptoty) 6. Zanalizuj pierwszą pochodną funkcji (wyznacz przedziały monotoniczności, oblicz ekstrema) 7. Zanalizuj drugą pochodną funkcji (wyznacz przedziały wklęsłości/wypukłości funkcji oraz punkty przecięcia) 8. Sporządź tabelkę przebiegu zmienności funkcji Byłabym wdzięczna za odpowiedź Wiadomość była modyfikowana 2014-05-02 21:21:49 przez aku

abcdefgh postów: 1255	2014-05-02 17:55:03 $f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x}=x-2+\frac{1}{x}$ 1 $D_{f}=R\backslash \{0\}$ asymptoty pionowa: $lim_{x \to 0^{\pm}} (x-2+\frac{1}{x})=-2$ brak asymptoty pozioma: $lim_{x \to \pm\infty} (x-2+\frac{1}{x})=-2$ y=-2 asymptota ukośna: a=$lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-2x+1}{x^2}=1$ b=$lim_{x \to \pm\infty} x-2+\frac{1}{x}-x=-2$ y=x-2 2. $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$ $x^2-1=0 \ \Rightarrow \ x=1 \ \ v \ \ x=-1$ maksimum i minimum $f(x)>0 \ \ \iff \ \ x\in (1,+\infty)$ rosnąca $f(x)<0 \ \ \iff \ \ x\in (-\infty,-1)$ malejąca 3. $f"(x)=\frac{2}{x^3}$ $x\in(-\infty,0) $ wypukła $x\in(0,\infty) $ wklęsła

aku postów: 10	2014-05-02 21:25:01 Bardzo dziękuję

aku postów: 10	2014-05-04 21:43:59 Mam pytanie do ostatniego rozwiązania zadania. Druga pochodna to $\frac{2}{x^{3}}$ Chcę określić przedział wklęsłości i wypukłości. $\frac{2}{x^{3}}$=0 Z tego wyjdzie 2=0. Czy nie powinno być f(x)$\cup$ dla x$\in$(-$\infty$:0)$\cup$(0:$\infty$) ?

tumor postów: 8070	2014-05-04 22:06:59 Druga pochodna nie zeruje się nigdzie. Zatem nie ma punktów przegięcia. Dziedzina składa się z dwóch przedziałów, w jednym z nich funkcja jest wklęsła, w drugim jest wypukła (bo druga pochodna w jednym z nich jest ujemna, a w drugim dodatnia)

aku postów: 10	2014-05-04 23:59:18 Rozumiem już co robiłam nie tak, ale nie jest czasem wypukła dla x>0, a wklęsła dla x<0?! Czy taki dość rozwinięty zapis będzie OK? $f"(x)>0\iff\frac{2}{x^{3}}>0\iff x^{3}>0\iff x>0$ $f"(x)<0\iff\frac{2}{x^{3}}<0\iff x^{3}<0\iff x<0$ $f(x)>0$ dla $x\in(0:\infty)\Rightarrow f\cap (wklęsła)?!$ dla x$\in(0:\infty)$ $f(x)<0$ dla $x\in(-\infty:0)\Rightarrow f\cup (wypukła)?!$ dla x$\in(-\infty:0)$ Jeszcze pytanie co do określenia przedziałów monotoniczności funkcji i ekstrema $f'(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}$ $x^{2}-1=0$ $x=-1 \vee x=1$ funkcja rośnie w przedziale $(-\infty:-1)\cup(1:+\infty)$ funkcja maleje w przedziale $(-1:0)\cup(0:1)$ a więc: funkcja osiąga maksimum lokalne w punkcie (-1,-4) y=-4, bo $fmax(-1)=-4$ funkcja osiąga minimum lokalne w punkcie (1,0) y=0, bo $fmin(1)=0$ Czy dobrze to zrozumiałam? Bo już nie jestem pewna... Wiadomość była modyfikowana 2014-05-05 00:52:03 przez aku

tumor postów: 8070	2014-05-05 07:07:53 Jeśli chodzi o pytanie pierwsze, o wypukłość, to masz rację. Wypukła jest dla $x>0$. Zatem $f``(x)>0$ dla $x\in (0;\infty)\Rightarrow f\cup$ (wypukła) dla $x\in (0;\infty)$ $f``(x)<0$ dla $x\in (-\infty;0)\Rightarrow f\cap$ (wklęsła) dla $x\in (-\infty,;0)$ ------ Jeśli chodzi o monotoniczność, to robisz jeden dość istotny błąd, który wymaga wyjaśnienia. Funkcja rośnie w przedziałach: $ (-\infty;-1),(1;+\infty),$ funkcja maleje w przedziałach $(-1;0),(0;1).$ Odpowiedź taka jest INNA niż Twoja, to wcale nie wszystko jedno, czy się te przedziały wypisuje oddzielnie, czy się je sumuje. Funkcja ta bowiem wcale nie jest malejąca w zbiorze $(-1;1)\backslash \{0\}$, weź dla przykładu $x_1=\frac{1}{2}, x_2=\frac{-1}{2}$, mamy $x_1>x_2$, ale także $f(x_1)>f(x_2)$, co w malejącej funkcji jest niemożliwe. Oddzielnie dla $(-1;0)$ funkcja $f$ maleje, oddzielnie dla $(0;1)$ funkcja $f$ maleje, ale nie znaczy to, że musi maleć w sumie tych zbiorów. W przypadku przedziałów w których funkcja rośnie, zasadniczo - formalnie - jest prawdą, że rośnie także w ich sumie, gdyż będzie spełniony warunek $x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ nie tylko w przedziałach $(-\infty;-1)$ i $(1;\infty)$ oddzielnie, ale także w ich sumie. Jednakże ich suma nie jest przedziałem, między punktami tej sumy znajdują się też punkty, które do niej nie należą (cały przedział $[-1;1]$ ) i funkcja tam przestaje być rosnąca. Ja bym nie pisał zatem sumy przedziałów, ale także przedziały oddzielnie. Jeśli mamy policzone ekstrema, to nie tracimy w ten sposób żadnej informacji (wszelkie dane o funkcji i tak mamy zapisane), natomiast zachowujemy pewien zdrowy rozsądek. :) Ekstrema zrozumiałaś dobrze. Jeśli ciągła funkcja jest rosnąca, a potem w punkcie $x_0$ zmienia się na malejącą (czyli inaczej, pierwsza pochodna zmienia tam znak z dodatniej na ujemną), to mamy maksimum. Jeśli z malejącej robi się rosnąca (pochodna zmienia znak z ujemnej na dodatnią), to mamy minimum.

aku postów: 10	2014-05-05 14:54:26 Rozumiem. Czyli muszę oddzielić przecinkiem bądź spójnikiem "i". Naprawdę, dziękuję Ci za pomoc :) W razie wątpliwości jeszcze tu napiszę, ale mam nadzieję, że już nie będzie takiej konieczności :D

aku postów: 10	2014-05-05 15:33:03 Aha, zapomniałam... Zastanawiam się nad asymptotą pionową. W odpowiedzi abcdefgh powyżej rzeczywiście wyszła liczba, jeśli wyszła liczba, asymptoty pionowej nie ma. Ja zatem napisałam to tak: $Df=x\in (-\infty,0)\cup (0,+\infty)$ $\lim_{x \to 0- \frac{(x-1)^{2}}{x}=[\frac{1}{0-}]=-\infty}$ $\lim_{x \to 0+ \frac{(x-1)^{2}}{x}=[\frac{1}{0+}]=+\infty}$ Obie granice dążą do nieskończoności, więc x=0 jest równaniem asymptoty pionowej obustronnej. Czy to źle rozwiązane?

tumor postów: 8070	2014-05-05 20:58:37 Widzisz, aku, my tu mamy z abcdefgh taki straszny układ. Ona robi błędy, potem ja je znajduję albo nie, a jak znajdę to wysyłam jej info. :) Ona to ignoruje, bo to złośliwe i nieuprzejme z mojej strony. Granice jednostronne w $0$ abcdefgh liczy niepoprawnie, Twoje wyniki są w porządku. Zatem asymptota pionowa istnieje i ma równanie $x=0$. :) W związku z tym, dodajmy, nie ma punktu przecięcia z osią $oy$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj