Analiza matematyczna, zadanie nr 2372

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
szyszunia07 postów: 24	2014-05-24 10:49:32 Bardzo proszę o pomoc: a) W trójkącie o wierzchołkach A=(-1,5),B=(1,4),C=(2,-3)znajdź punkt $M=(x_0,y_0)$, dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. b) Jakie powinny być długość a,szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?

tumor postów: 8070	2014-06-23 23:03:49 $f(x,y)= (x+1)^2+(x-1)^2+(x-2)^2+(y-5)^2+(y-4)^2+(y+3)^2=3x^2-4x+6+3y^2-12y+43$ $\frac{df}{dx}=6x-4$ $\frac{df}{dy}=6y-12$ pochodne zerują się tylko dla $x_0=\frac{2}{3}, y_0=2$ Niby powinno się sprawdzić, że tam jest minimum, ale z drugiej strony można skorzystać z przyjmowania wartości minimalnych i maksymalnych na zbiorze zwartym, bo funkcja jest ciągła.

tumor postów: 8070	2014-06-23 23:14:06 b) $abh=V$, czyli $h=\frac{V}{ab}$ $P(a,b)=ab+2ah+2bh=ab+\frac{2V}{b}+\frac{2V}{a}$ $\frac{dP}{da}=b-2Va^{-2}$ $\frac{dP}{db}=a-2Vb^{-2}$ Przyrównujemy do zera obie pochodne cząstkowe. Jeśli ponadto pierwszą pomnożymy przez a, drugą przez b, dostaniemy $ab-2Va^{-1}=ab-2Vb^{-1}=0$ skąd $a=b,$ $a-2Va^{-2}=0$ $a^3=2V$ $a=\sqrt[3]{2V}=b$ Jak poprzednio powinno się sprawdzić, że to będzie minimum, no ale będzie. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj