Topologia, zadanie nr 2389

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
magda_roz postów: 8	2014-05-27 18:06:11 Bardzo prosiłabym o pomoc w zadaniach (totalnie nie mam pojęcia jak się za nie zabrać) będę wdzięczna za jakąkolwiek pomoc 1) Niech $f: X \rightarrow Y$ będzie odwzorowaniem ciągłym (homeomorfizmem, izometrią). Czy f pozzostanie odwzorowaniem ciągłym jeśli metrykę w X (lub w Y) zastąpimy metryką równoważną? 2)Rozważmy przestrzeń metryczną(X,d), gdzie d jest metryką dyskretną. Wykazać, że: (a) przestrzeń (X,d) jest przestrzenią zupełną; (b) przestrzeń (X,d) jest przestrzenią zwartą $\iff$zbiór X jest skończony; (c) przestrzeń (X,d) jest przestrzenią ośrodkową $\iff$ zbiór X jest przeliczalny; (d) przestrzeń (X,d) jest przestrzenią spójną $\iff$ zbiór X jest jednoelementowy. 3) Wykazać, że w przestrzeni metrycznej zbiór A jest domknięty $\iff$ spełniony jest warunek: $\forall_{x_n\subset A}\forall_{x\in X}(x_n \rightarrow x \Rightarrow x\in A$ Wiadomość była modyfikowana 2014-05-27 18:22:08 przez magda_roz

tumor postów: 8070	2014-05-27 18:44:09 2) a) należy pokazać, że metryka dyskretna jest zupełna, to znaczy, że każdy ciąg Cauchy'ego w sensie tej metryki jest zbieżny. $x_i, i\in \mathbb{N}$ jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli dla każdego $\epsilon>0$ istnieje $M\in \mathbb{N}$ takie, że dla $m,n>M$ mamy $d(x_n,x_m)<\epsilon$. W szczególności możemy przyjąć $\epsilon=1$, wówczas istnieć musi $M\ in \mathbb{N}$ takie, że dla wszystkich $m,n>M$ mamy $d(x_n,x_m)<1$, ale jeśli $d$ jest metryką dyskretną, to $d(x_n,x_m)<1$ oznacza $d(x_n,x_m)=0$, czyli $x_n=x_m$. Każdy ciąg Cauchy'ego jest zatem od pewnego miejsca stały, a ciągi takie są zawsze zbieżne. Pokazaliśmy, że w przestrzeni z metryką dyskretną ciągi Cauchy'ego są zbieżne.

tumor postów: 8070	2014-05-27 18:49:44 2) b) Prawdopododobnie zwartość zdefiniowano na wykładzie tak: Przestrzeń $(X,d)$ nazywamy zwartą, gdy każde pokrycie (otwarte) przestrzeni $X$ w sensie metryki $d$ zawiera podpokrycie skończone. Jeśli nie była to definicja, to było to podane jako warunek równoważny zwartości. A jeśli i tak się nie stało, to proszę mi tu podać, jaka była definicja i jakie warunki równoważne podano. Jeśli $d$ jest metryką dyskretną, to zbiory jednopunktowe są otwarte, bowiem $\{x\}=K(x,1)=\{y\in X: d(x,y)<1\}$. Pokrycie $X$ zbiorami jednopunktowymi jest pokryciem otwartym, a jego elementy są parami rozłączne, zatem istnieje podpokrycie skończone wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest zbiorem skończonym.

tumor postów: 8070	2014-05-27 18:55:50 2) c) Przestrzeń ośrodkowa to taka, która zawiera podzbiór gęsty przeliczalny. Podzbiór gęsty $A\subset X$ to taki, że dla każdego $x\in X$ każde otoczenie (otwarte) punktu $x$ ma niepusty przekrój z $A$. Jednakże w przestrzeni z metryką dyskretną zbiory jednopunktowe są otwarte, są otoczeniami otwartymi, jeśli $A$ jest gęsty w $X$, to $A$ musi być równy $X$. Jeśli zatem $A$ jest przeliczalny, to skoro $A=X$, to oczywiście $X$ jest przeliczalny. W drugą stronę, jeśli $X$ jest przeliczalny, to wówczas $X$ jest gęsty w $X$ i przeliczalny, czyli $X$ jest ośrodkowa.

magda_roz postów: 8	2014-05-27 19:00:45 dziękuje bardzo za pomoc :)

tumor postów: 8070	2014-05-27 19:00:49 2) d) Przestrzeń spójna $(X,d)$ to taka, że $X$ nie da się przestawić w postaci sumy rozłącznych zbiorów otwartych niepustych w sensie metryki $d$. Jeśli $X$ zawiera co najmniej dwa różne punkty $x,y$, to $\{x\}, X\backslash \{x\}$ są zbiorami otwartymi w sensie metryki dyskretnej, są niepuste, rozłączne i sumują się do $X$, czyli $X$ nie jest spójna. Jeśli $X$ zawiera dokładnie jeden punkt, $X=\{x\}$, wówczas każdy zbiór rozłączny z niepustym otwartym podzbiorem $X$ jest zbiorem pustym (bo $X$ jest jedynym niepustym zbiorem otwartym), co oznacza spójność $X$.

magda_roz postów: 8	2014-05-27 19:03:02 Byłbyś w stanie rozwiązać 1 lub 3 zadanie? albo przynajmniej jakoś mnie nakierować na rozwiązanie ich? :)

tumor postów: 8070	2014-05-27 19:26:09 3) A jak zdefiniowany był zbiór domknięty? Powiedzmy, że definicją było: Zbiór $A$ jest domknięty w $X$, jeśli $X\backslash A$ jest otwarty w $X$. Niech $A\subset X$ będzie domknięty, a $x_n, n\in \mathbb{N}$ niech będzie ciągiem zbieżnym w $X$, przy tym $x_n\in A$ dla $n \in \mathbb{N}$. Wówczas $\lim x_n \in A$. (W przeciwnym wypadku $\lim x_n \notin A$, ale każde otoczenie punktu \$lim x_n$ ma niepusty przekrój z $A$, czyli $X\backslash A$ nie jest otwarty, sprzeczność). Niech $A$ będzie zbiorem takim, że każdy ciąg zbieżny w $X$ elementów z $A$ ma granicę w $A$. Wówczas $X\backslash A$ jest otwarty. (Gdyby istniał $x\in X\backslash A$, który nie ma otoczenia rozłącznego z $A$, to wybierając $x_n\ in A\cap K(x,\frac{1}{n})$ otrzymujemy ciąg $x_n$ elementów z $A$ zbieżny do $x\notin A$, sprzeczność.)

tumor postów: 8070	2014-05-27 19:53:15 1. Znów mi brakuje definicji. W topologii można różnie określić sobie punkt wyjścia do dalszych rozważań, bardzo wiele własności określa się za pomocą wielu równoważnych warunków, jeden z nich biorąc za definicję, a równoważność z pozostałymi udowadniając w twierdzeniach. Gdy mam udowadniać własność, to muszę wiedzieć, jak została zdefiniowana i jakie równoważne ujęcia już pokazano. Bez tego staram się trafiać w definicje najczęściej używane. -- Funkcja $f:X \to Y$ ciągła to taka, w której przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty (równoważnie: przeciwobraz zbioru domkniętego jest domknięty). Funkcja $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem, jeśli jest bijekcją, a funkcje $f$ i $f^{-1}$ są obie ciągłe. Funkcja $f:X\to Y$ jest izometrią, jeśli dla każdych $x_1, x_2 \in X$ mamy $d_X(x_1,x_2)=d_Y(f(x_1),f(x_2))$. W zadaniu mamy się zastanowić, które z warunków zostaną zachowane, jeśli dana jest już funkcja $f:X \to Y$, ale podmieniamy metryki na równoważne. Metryki równoważne to takie, które generują tę samą topologię, lub inaczej mówiąc: jeśli $U_x$ jest otoczeniem punktu $x$ w pierwszej metryce, to istnieje jego otoczenie $V_x$ w drugiej metryce takie, że $x\in V_x\subset U_x$, oraz odwrotnie, jeśli $V_x$ jest otoczeniem $x$ w drugiej metryce, to istnieje $U_x$ otoczenie $x$ w pierwszej metryce takie, że $x\in U_x\subset V_x$. Zmiana metryki na równoważną nie ma zatem wpływu na ciągłość, bowiem dokładnie te same zbiory będą domknięte i otwarte w równoważnych metrykach. Oczywiste jest, że metryka nie będzie mieć wpływu na różnowartościowość i surjektywność, zatem bijekcja pozostanie bijekcją. Stąd: niezależnie od podmian metryk na równoważne funkcja ciągła pozostanie ciągła, a homeomorfizm pozostanie homeomorfizmem. Inaczej rzecz się ma z izometrią. Metryki równoważne nie muszą wszak zachowywać odległości. Jeśli $d_1$ jest metryką taksówkową, a $d_2$ metryką maksimum, to metryki $d_1$ i $d_2$ są równoważne (albo to było dowiedzione, albo ewentualnie tego dowiodę, albo weź przykład analogiczny skonstruowany z metryk, których równoważność pokazano na wykładzie). Niech $X=\mathbb{R}^2$. Identyczność $f:(X,d_1)\to (X,d_1)$, $f(x)=x$, jest oczywistą izometrią. Natomiast przy zmianie: $g:(X,d_1)\to (X,d_2)$, $g(x)=x$ lub $h:(X,d_2)\to (X,d_1)$, $h(x)=x$ tracimy własność izometrii, na przykład $d_1((0,0),(1,1))=2 \neq 1 = d_2((0,0),(1,1)) $.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj