Topologia, zadanie nr 2393

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
magda_roz postów: 8	2014-05-27 19:17:06 Proszę o pomoc w rozwiązaniu któregokolwiek z podpunktów :) Niech $(X,d_x), (Y,d_y)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Rozważmy w przestrzeni $X \times Y$ metrykę $d((x_1,y_1),(x_2,y_2)):= d_x (x_1,x_2)+d_y(y_1,y_2)$, gdzie $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in X \times Y$ Wykazać, że: (a) jeżeli zbiór $A\subset X$jest gęsty (w X) i zbiór $B\subset Y$jest gęsty (w Y) to zbiór $A\times B$ jest gęsty (w $X\times Y$); (b) jeżeli przestrzenie $(X,d_x) i (Y,d_y)$ są ośrodkowe, to przestrzeń $(X \times Y,d)$jest ośrodkowa; (c) jeżeli $((x_n,y_n))_n$ jest ciągiem Cauchy'ego w $X \times Y$, to $(x_n)_n$jest ciągiem Cauchy'ego w X, a $(y_n)_n$ ciągiem Cauchy'ego w Y; (d) jeżeli przestrzenie $(X,d_x), (Y,d_y)$ są zupełne, to przestrzeń $(X \times Y,d)$ jest zupełna; (e) jeżeli przestrzenie $(X,d_x), (Y,d_y)$ są zwarte, to przestrzeń $(X \times Y,d)$ jest zwarta. Wiadomość była modyfikowana 2014-05-27 19:17:33 przez magda_roz

tumor postów: 8070	2014-05-27 20:12:59 A możesz mi wyjaśnić, czemu nic nie umiesz zrobić, skoro się gdzieś tego uczysz? :) a) Przypuśćmy, że $A\times B$ nie jest gęsty w $X\times Y$, czyli istnieje $(x,y)\in X\times Y$ posiadający otoczenie w sensie metryki $d$ rozłączne ze zbiorem $A\times B$. Możemy napisać $K_d((x,y),\epsilon)\cap A\times B = \emptyset.$ Zatem zachodzi co najmniej jeden z warunków $K_X(x,\frac{\epsilon}{2})\cap A=\emptyset$ $K_Y(y,\frac{\epsilon}{2})\cap B=\emptyset$, a zatem $A$ nie jest gęsty w $X$ lub $B$ nie jest gęsty w $Y$, sprzeczność.

tumor postów: 8070	2014-05-27 20:15:31 b)Przestrzenie ośrodkowe to takie, które mają podzbiór gęsty przeliczalny (tzw. ośrodek). Jeśli $A,B$ są ośrodkami odpowiednio w $X,Y$, to $A\times B$ jest gęsty w $X\times Y$, ponadto $A\times B$ jest przeliczalny, czyli jest ośrodkiem w $X\times Y$.

tumor postów: 8070	2014-05-27 20:18:52 c) ustalmy $\epsilon>0$ Istnieje $M\in \mathbb{N}$ takie, że dla $n,m>M$ mamy $d_x(x_n,x_m)+d_y(y_n,y_m)<\epsilon$, czyli $d_x(x_n,x_m)<\epsilon$ oraz $d_y(y_n,y_m)<\epsilon$, czyli spełniony jest warunek Cauchy'ego.

tumor postów: 8070	2014-05-27 20:24:24 d) Jeśli $(x_n,y_n)$ jest ciągiem Cauchy'ego w $X\times Y$, to pokazaliśmy już, że $x_n,y_n$ są ciągami Cauchy'ego odpowiednio w $X,Y$. Skoro przestrzenie te są zupełne, to $x_n\to x$, $y_n\to y$ dla pewnych $(x,y)\in X\times Y$. Pozostaje pokazać, że $(x_n,y_n)\to (x,y)$ w sensie metryki $d$. Oczywiście jeśli $d_x(x_n,x)\to 0$, $d_y(y_n,y)\to 0$, to także $d((x_n,y_n),(x,y))\to 0$, czyli $(x,y)$ jest granicą.

magda_roz postów: 8	2014-05-27 20:32:40 Otóż Topologię mam na studiach a nie bardzo rozumiem skąd się tu coś bierze :) niestety mam takiego prowadzącego, który nie bardzo ułatwia mi i reszcie grupy zrozumienie tego wszystkiego :) Dlatego jest mi niezmiernie miło, że mi pomagasz :)

tumor postów: 8070	2014-05-27 20:46:25 e) Najwygodniej będzie tu użyć własności mówiącej, że przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg w tej przestrzeni zawiera podciąg zbieżny. Wówczas niech $(x_n,y_n)$ będzie ciągiem w $X\times Y$, wtedy $x_n,y_n$ jako ciągi w przestrzeniach zwartych zawierają podciągi zbieżne. Rozumujemy jak wyżej, $x_{k_n}\to x$ jest zbieżnym podciągiem $x_n$, niech wówczas $y_{l_n}\to y$ będzie zbieżnym podciągiem $y_{k_n}$, wówczas także $x_{l_n}\to x$, wtedy $(x_{l_n},y_{l_n})\to (x,y)$ jest zbieżnym podciągiem $(x_n,y_n)$, czyli $X\times Y$ jest zwarta. ---- W jednym z zadań podałem definicję zwartości przez pokrycia, teraz przez podciągi zbieżne. Należy pokazać, że w przestrzeniach metrycznych warunki te są równoważne (wówczas obojętne, który będzie definicją, a który twierdzeniem). Nie zrobiłem tego, bo zazwyczaj się tego dowodzi na wykładzie. Jeśli będzie potrzeba, to zrobimy na forum.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj