Topologia, zadanie nr 2394

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ka_pis postów: 11	2014-05-27 19:30:36 Proszę o pomoc w tych trzech zadankach: 1) Podać przykłady przestrzeni metrycznych $(X,d_1), (X,d_2)$ takich, aby metryki $d_1, d_2$ były równoważne, przestrzeń $(X,d_1)$ był zupełna, a przestrzeń $(X,d_2)$ zupełna nie była. WSKAZÓWKA: Rozważyć $X=R, d_1(x,y)=\|x-y\|, d_2(x,y)=\|arctg x- arctg y\|, x,y\in R$. 2) Uzasadnić, że jeżeli przestrzeń metryczna $(X,d)$ jest zupełna, to $X$ jest zbiorem drugiej kategorii. WSKAZÓWKA: Skorzystać z twierdzenia Baire'a. 3) Wykazać, że ciąg zdefiniowany w dowodzie twierdzenia Banach o punkcie stałym jest ciągiem Cauchy'ego.

tumor postów: 8070	2014-05-27 20:57:38 1. No przecież odpowiedź jest napisana. :) Zbiór liczb rzeczywistych z $d_1$ jest przestrzenią zupełną (-> wykład). Zbiór liczb rzeczywistych z $d_2$ nie jest przestrzenią zupełną, rozważmy bowiem ciąg $x_n=n$. Dla każdego $\epsilon >0$ istnieje $M\in \mathbb{N}$, że dla $m,n>M$ mamy $\|arctg n -arctg m\|<\epsilon$, wystarczy wziąć $M>tg(\frac{\pi-\epsilon}{2})$. Ciąg $x_n$ jest ciągiem Cauchy'ego, natomiast żadna liczba rzeczywista nie jest jego granicą.

tumor postów: 8070	2014-05-27 21:03:09 2. Jedna z wersji twierdzenia Baire'a mówi, że w przestrzeniach zupełnych zbiory pierwszej kategorii są brzegowe. $int X=X$, zatem $X$ nie jest brzegowy w $X$, zatem nie jest pierwszej kategorii w $X$. Trudniej będzie, jeśli twierdzenie Baire'a było podane jakoś zdecydowanie inaczej i będziemy musieli zrobić dowód, że wówczas zbiory pierwszej kategorii będą brzegowe. :) 3. Nie czytam w myślach. ;) Nie wiem, jaki ciąg ktoś w jakimś dowodzie zdefiniował, jeśli nie widzę. Wiadomość była modyfikowana 2014-05-27 21:03:57 przez tumor

ka_pis postów: 11	2014-05-27 21:10:32 Twierdzenie Baire'a: Założenia: $(X,d)$ - przestrzeń metryczna zupełna $A\subset X$ A - I kategorii Teza: A - brzegowy.

ka_pis postów: 11	2014-05-27 21:16:25 A więc to jest to twierdzenie.

ka_pis postów: 11	2014-05-27 21:20:34 A do zadania 3) $X$ - zupełna $\Rightarrow \exists x_0\in X x_n\rightarrow^d x_0 $

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj