logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 2407

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

bialamamba
postów: 4
2014-05-28 21:43:34

Niech $\varphi:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ homomorfizm.
a) Wykaż, że $\varphi|_{\mathbb{Q}}=id_{\mathbb{Q}}$
b) Znajdź warunek algebraiczny odróżniający liczby dodatnie od ujemnych, tzn. wykaż, że jeżeli $x\gt 0$ to $\varphi(x)\gt 0$
c) Wykaż, że $\varphi=id$


tumor
postów: 8070
2016-09-13 11:45:30

W ogólności nieprawda.
Nie ma tu żadnego stwierdzenia, że chodzi o coś więcej niż homomorfizm grup, natomiast f(x)=-x jest homomorfizmem z R na R (jako grupy z dodawaniem).

a) Dopiero gdyby chodziło o homomorfizm pierścieni, będzie:
$\varphi(0)=0$
$\varphi(1)=\varphi(1*1)=(\varphi(1))^2$
stąd
$\varphi(1)=0$ lub $\varphi(1)=1$
Pierwsza możliwość nie da oczywiście identyczności, choć wciąż jest homomorfizmem pierścieni (jedynką trywialnego pierścienia $\{0\}$, jak jego zerem, jest oczywiście jedyny element).
Dopiero gdy wymagamy istnienia co najmniej dwóch różnych elementów pierścienia dostajemy na pewno
$\varphi(1)=1$
co już daje dość oczywisty wniosek dla liczb wymiernych.

b) wiemy już, że dla wymiernego x będzie $x>0 \Rightarrow \varphi(x)>0$.
Jeśli x jest dodatnią liczbą niewymierną, to istnieje dodatnia liczba niewymierna y taka, że x+y jest (oczywiście dodatnią) liczbą wymierną. Wobec tego przynajmniej jedna z liczb x,y (ta z większą wartością bezwzględną, przyjmijmy, że to x) musi spełniać
$\varphi(x)>0$
A wobec tego, że możemy dobrać y tak, by miał wartość bezwzględną mniejszą od x, zawsze jest $x>0 \Rightarrow \varphi(x)>0$

c) z b) dość szybko dostajemy monotoniczność $\varphi$.
Jeśli bowiem x<y, ale $\varphi(x)\ge \varphi(y)$
to $\varphi(y-x)\le 0$, co sprzeczne z b)
a jedyną funkcją monotoniczną spełniającą a) jest identyczność.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj