Algebra, zadanie nr 2407
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
bialamamba postów: 4 | 2014-05-28 21:43:34 Niech $\varphi:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ homomorfizm. a) Wykaż, że $\varphi|_{\mathbb{Q}}=id_{\mathbb{Q}}$ b) Znajdź warunek algebraiczny odróżniający liczby dodatnie od ujemnych, tzn. wykaż, że jeżeli $x\gt 0$ to $\varphi(x)\gt 0$ c) Wykaż, że $\varphi=id$ |
tumor postów: 8070 | 2016-09-13 11:45:30 W ogólności nieprawda. Nie ma tu żadnego stwierdzenia, że chodzi o coś więcej niż homomorfizm grup, natomiast f(x)=-x jest homomorfizmem z R na R (jako grupy z dodawaniem). a) Dopiero gdyby chodziło o homomorfizm pierścieni, będzie: $\varphi(0)=0$ $\varphi(1)=\varphi(1*1)=(\varphi(1))^2$ stąd $\varphi(1)=0$ lub $\varphi(1)=1$ Pierwsza możliwość nie da oczywiście identyczności, choć wciąż jest homomorfizmem pierścieni (jedynką trywialnego pierścienia $\{0\}$, jak jego zerem, jest oczywiście jedyny element). Dopiero gdy wymagamy istnienia co najmniej dwóch różnych elementów pierścienia dostajemy na pewno $\varphi(1)=1$ co już daje dość oczywisty wniosek dla liczb wymiernych. b) wiemy już, że dla wymiernego x będzie $x>0 \Rightarrow \varphi(x)>0$. Jeśli x jest dodatnią liczbą niewymierną, to istnieje dodatnia liczba niewymierna y taka, że x+y jest (oczywiście dodatnią) liczbą wymierną. Wobec tego przynajmniej jedna z liczb x,y (ta z większą wartością bezwzględną, przyjmijmy, że to x) musi spełniać $\varphi(x)>0$ A wobec tego, że możemy dobrać y tak, by miał wartość bezwzględną mniejszą od x, zawsze jest $x>0 \Rightarrow \varphi(x)>0$ c) z b) dość szybko dostajemy monotoniczność $\varphi$. Jeśli bowiem x<y, ale $\varphi(x)\ge \varphi(y)$ to $\varphi(y-x)\le 0$, co sprzeczne z b) a jedyną funkcją monotoniczną spełniającą a) jest identyczność. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj