Algebra, zadanie nr 2410

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kejpis postów: 11	2014-06-01 17:52:36 Czy byłby ktoś tak dobry i mógłby podać mi przykłady z uzasadnieniem: (1) równania diofantycznego, które ma rozwiązanie i takiego, które nie ma rozwiązania, (2) układu kongruencji, który nie ma rozwiązania, (3) grupy: abelowej (skończonej i nieskończonej) i grupy nieabelowej (skończonej i nie- skończonej), (4) grupy cyklicznej (skończonej i nieskończonej) oraz grupy abelowej, która nie jest cykliczna, (5) dwóch grup równolicznych ale nie izomorficznych, (6) podgrupy normalnej w danej grupie i podgrupy która nie jest normalna, (7) dwóch podgrup danej grupy, których suma mnogościowa nie jest podgrupą, (8) homomorfizmu grup, który nie zachowuje rzędów elementów, (9) dwóch elementów dla których iloczyn ich rzędów nie jest równy rzędowi ich iloczynu, (10) pierścienia niecałkowitego oraz pierścienia całkowitego, który nie jest ciałem, (11) pierścienia w którym jest nieskończenie wiele dzielników zera, (12) pierścienia euklidesowego (wraz z funkcją ϕ) oraz takiego, który nie jest euklidesowy, (13) pierścienia ideałów głównych oraz takiego, który nie jest pierścieniem ideałów głównych, (14) elementy rozkładalnego i elementu nierozkładalnego, (15) ideału pierwszego/maksymalnego i ideału, który nie jest pierwszy/maksymalny, (16) ideału pierwszego który nie jest maksymalny, (17) wielomianu, który ma więcej pierwiastków niż jego stopień oraz takiego, który nigdzie nie ma pierwiastka, (18) wielomianu rozkładalnego zadanego przeze mnie (dowolnego) stopnia, który nie ma pierwiastków. (19) liczby algebraicznej oraz liczby przestępnej, (20) wielomianu rozkładalnego, który nie ma pierwiastków.

tumor postów: 8070	2014-06-23 21:47:56 1) $x^2+y^2=25$ $x^2+y^2=3$ 2) $x=1(mod4)$ $3x=4(mod8)$

tumor postów: 8070	2014-06-23 22:19:10 3) Grupami abelowymi są na przykład ciała, czyli $Z_5$ i $\mathbb{C}$, oba z dodawaniem. Grupę nieabelową tworzą bijekcje $X\to X$ ze składaniem, gdy $X$ ma co najmniej $3$ elementy. Dla $X$ nieskończonego będzie to grupa nieskończona.

tumor postów: 8070	2014-06-23 22:31:03 4) Grupą cykliczną skończoną jest np $Z_5$, nieskończoną $Z$, obie z dodawaniem. Generatorem $Z$ jest $\{-1\}$. Nieskończona grupa abelowa niecykliczna to na przykład $\{0,1\}^\omega$, czyli inaczej zbiór funkcji $N\to \{0,1\}$ z dodawaniem po współrzędnych modulo $2$.

tumor postów: 8070	2014-06-23 22:37:01 5) $Z$ i $Z\times Z$ 7) $3Z$ i $5Z$ w $Z$

tumor postów: 8070	2014-06-23 22:42:52 8) $h:Z\to Z_2$ $h(x)=x-2[\frac{x}{2}]$, gdzie $[]$ oznacza podłogę. 9) w $Z_5$ element $2$ ma rząd $4$, $3$ ma rząd $4$, natomiast ich iloczyn ma rząd $1$.

tumor postów: 8070	2014-06-24 16:23:38 20) $(x^2+x+5)(x^2+2x+13)$ 19) $\sqrt{2}, \pi$

tumor postów: 8070	2014-06-24 16:28:54 18) Nad jakim ciałem? Nie mają pierwiastków wielomiany o współczynnikach z $Z_2$ postaci $x^n+x+1$. Iloczyn dwóch wielomianów tej postaci jest oczywiście rozkładalny, ale nie ma pierwiastków.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj