Algebra, zadanie nr 2415

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
paullak postów: 2	2014-06-03 20:48:22 Prosze o pomoc bo zupełnie nie wiem jak się za to zabrać bo nie miałam tego na cwiczeniach . Wskazać przekształcenie liniowe $T: R ^3 \to R ^3$, dla którego $KerT= \left\{(x,y,z) \in R ^3 : x+2y-z=0 \right\}$ oraz $ImT= \left\{(x,y,z) \in R^3 : x+y-z=0 i x+3y+z=0 \right\}$. Czy istnieje tylko jedno takie przekształcenie?

tumor postów: 8070	2014-06-03 22:33:00 $ImT$ to prosta, natomiast $KerT$ to płaszczyzna mająca jeden punkt wspólny z prostą. Podprzestrzeń $KerT$ wyznacza warstwy, warstwy są postaci $x+2y-z=c$, dla $c\in R$, są to płaszczyzny równoległe do $KerT$. $R^3$ jest sumą tych warstw. Możemy zatem przyporządkowywać na przykład dany punkt przestrzeni $R^3$ punktowi przecięcia warstwy, na której się on znajduje, z prostą $ImT$, czyli punktowi $(x_0,y_0,z_0)$ przyporządkowane jest rozwiązanie układu równań $\left\{\begin{matrix} x-x_0+2(y-y_0)-(z-z_0)=0 \\ x+y-z=0 \\x+3y+z=0 \end{matrix}\right.$ Pierwsze równanie to przesunięcie płaszczyzny o wektor odpowiedni, by uzyskać warstwę na której leży punkt, a kolejne dwa to prosta $ImT$, ich część wspólna to punkt. Możesz go napisać wprost, bo układ jest cramerowski. Przekształceń jest nieskończenie wiele, bo powyższe jedno można złożyć z dowolnym odwzorowaniem liniowym prostej na nią samą.

paullak postów: 2	2014-06-03 23:12:20 a jakie jest przykładowe przekształcenie do tego?

tumor postów: 8070	2014-06-04 07:28:12 "Nikt nic nie czyta, a jeśli czyta, to nic nie rozumie, a jeśli nawet rozumie, to nic nie pamięta", Stanisław Lem Odpowiedź na Twoje pytanie jest napisana. Teraz Twoją rolą jest ją czytać, aż będziesz ją rozumieć.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj