Inne, zadanie nr 2435
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| andrzejs postów: 1 |  2014-06-09 18:36:09 |
| tumor postów: 8070 | 2014-06-23 20:29:48 k1) liczymy pochodne cząstkowe $\frac{df}{dx}=9x^2+6xy-15$ $\frac{df}{dy}=-3y^2+3x^2$ i przyrównujemy obie do zera. Stąd $x^2=y^2$, czyli $x=\pm y$ Jeśli $x=-y$, to dostajemy $9x^2+6xy-15=9x^2-6x^2-15=3x^2-15=0$ czyli $x=-y=\pm \sqrt{5}$. Jeśli $y=x$, to $9x^2+6xy-15=9x^2+6x^2-15=15x^2-15$, czyli $x=y=\pm 1$ Mamy zatem cztery kandydatury na ekstrema lokalne. Liczymy teraz drugie pochodne $\frac{d^2f}{dx^2}=18x-6y$ $\frac{d^2f}{dy^2}=-6y$ $\frac{d^2f}{dxdy}=6x$ i wyznacznik macierzy drugich pochodnych $W(x,y)=(18x-6y)(-6y)-36x^2$ za $x,y$ podstawiamy współrzędne czterech punktów, które kandydują. Jeśli wyznacznik jest dodatni, jak ma to miejsce dla rozwiązania $(\sqrt{5},-\sqrt{5})$, to mamy w tym miejscu ekstremum. Jeśli ujemy, jak na przykład dla $(1,1)$, to ekstremum nie mamy. Dla wyznacznika zerowego byśmy nie wiedzieli, ale taki się tu nie trafi. |
| tumor postów: 8070 | 2014-06-23 20:52:28 j2) $\frac{dk}{dx}=e^{x-y}(x^2-2y^2+2x)$ $\frac{dk}{dy}=-e^{x-y}(x^2-2y^2+4y)$ Obie pochodne przyrównujemy do zera. Musi być $2x=4y$, czyli $x=2y$. Wówczas wyznaczenie punktów stacjonarnych i dokończenie przykładu metodą jak wyżej nie stanowi już trudności. |
| tumor postów: 8070 | 2014-06-23 21:00:29 k3) $\frac{df}{dx}=2e^{2x}(x+y^2+2y)+e^{2x}=e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)$ $\frac{df}{dy}=e^{2x}(2y+2)$ Druga z tych pochodnych cząstkowych zeruje się dla $y=-1$, pierwsza wówczas ma postać $e^{2x}(2x-1)$ i zeruje się dla $x=\frac{1}{2}$, to jedyny punkt stacjonarny. Dalej liczymy jak wyżej. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj