Analiza matematyczna, zadanie nr 2443

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
rambo postów: 19	2014-06-11 11:20:12 Witam, Wyznaczyć największy i najmniejszą wartość funkcji $f(x,y)=2x^2-y^2$ na obszarze D określonym nierównościami $x^2+y^2 \le 4$, $x \ge 0$. Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

tumor postów: 8070	2014-06-23 20:10:23 Liczymy pochodne cząstkowe $\frac{df}{dx}=4x$ $\frac{df}{dy}=-2y$ Obie zerują się jedynie w punkcie $(0,0$), oznaczmy $P_1=(0,0)$. Punkt $P_1$ nie znajduje się wewnątrz obszaru, ale na jego brzegu, gdyby znajdował się w ogóle poza obszarem, to byśmy go olali. :) Mamy natomiast pewność, że wnętrze obszaru nie zawiera ekstremów lokalnych. Zajmijmy się teraz brzegiem. Część brzegu to prosta $x=0$, przy zachowanym warunku $x^2+y^2\le 4$, czyli $y^2\le 4$. Funkcja po podstawieniu $x=0$ ma postać $f(x,y)=-y^2$ o oczywistym ekstremum dla $y=0$, dostajemy więc ten sam punkt $P_1$. Inny fragment brzegu opisany jest elipsą $x^2+y^2=4$ przy warunku $x\ge 0$, wówczas $f(x,y)=2x^2-(4-x^2)=3x^2-4$ o ekstremum dla $x=0$, wówczas $y=\pm 2$, a $f(x,y)=2(4-y^2)-y^2=8-3y^2$ ma ekstremum dla $y=0$ i $x=\pm 2$ Mamy zatem punkty $(0,0), (0,\pm 2), (\pm 2, 0)$, pięć ich jest, ale odrzucamy $(-2,0)$, bo leży poza obszarem. Największa wartość dla $(2,0)$, najmniejsza dla $(0,2)$ i dla $(0,-2)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj