Analiza matematyczna, zadanie nr 2443
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
rambo post贸w: 19 |  2014-06-11 11:20:12Witam, Wyznaczy膰 najwi臋kszy i najmniejsz膮 warto艣膰 funkcji $f(x,y)=2x^2-y^2$ na obszarze D okre艣lonym nier贸wno艣ciami $x^2+y^2 \le 4$, $x \ge 0$. Prosz臋 o pomoc w rozwi膮zaniu. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-23 20:10:23 Liczymy pochodne cz膮stkowe $\frac{df}{dx}=4x$ $\frac{df}{dy}=-2y$ Obie zeruj膮 si臋 jedynie w punkcie $(0,0$), oznaczmy $P_1=(0,0)$. Punkt $P_1$ nie znajduje si臋 wewn膮trz obszaru, ale na jego brzegu, gdyby znajdowa艂 si臋 w og贸le poza obszarem, to by艣my go olali. :) Mamy natomiast pewno艣膰, 偶e wn臋trze obszaru nie zawiera ekstrem贸w lokalnych. Zajmijmy si臋 teraz brzegiem. Cz臋艣膰 brzegu to prosta $x=0$, przy zachowanym warunku $x^2+y^2\le 4$, czyli $y^2\le 4$. Funkcja po podstawieniu $x=0$ ma posta膰 $f(x,y)=-y^2$ o oczywistym ekstremum dla $y=0$, dostajemy wi臋c ten sam punkt $P_1$. Inny fragment brzegu opisany jest elips膮 $x^2+y^2=4$ przy warunku $x\ge 0$, w贸wczas $f(x,y)=2x^2-(4-x^2)=3x^2-4$ o ekstremum dla $x=0$, w贸wczas $y=\pm 2$, a $f(x,y)=2(4-y^2)-y^2=8-3y^2$ ma ekstremum dla $y=0$ i $x=\pm 2$ Mamy zatem punkty $(0,0), (0,\pm 2), (\pm 2, 0)$, pi臋膰 ich jest, ale odrzucamy $(-2,0)$, bo le偶y poza obszarem. Najwi臋ksza warto艣膰 dla $(2,0)$, najmniejsza dla $(0,2)$ i dla $(0,-2)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj