Algebra, zadanie nr 2450

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kitt94 postów: 7	2014-06-14 17:05:00 Mam problem z następującym podpunktem w zadaniu: Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla których liczba u jest czysto urojona. $u = \frac{z+4}{z-2i}$ Moje obliczenia wyglądają w następujący sposób: $u = \frac{z + 4}{z - 2i} = \frac{x + iy + 4}{x + iy - 2i} = \frac{(x + iy + 4)(x - iy + 2i)}{x + iy - 2i)(x - iy + 2i)} = \frac{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} - ixy + 2ix + ixy + y^{2} - 2y - 2ix - 2y +4}$ $u = \frac{x^{2} + 2ix + y^{2} - 2y + 4x - 4iy + 8i}{x^{2} + y^{2} - 4y +4}$ Skoro $u$ ma być czysto urojona, to $Re u = 0$. Najpierw obliczam dziedzinę: $x^{2} + y^{2} - 4y + 4 \neq 0 \Leftrightarrow (y - 2)^{2} \neq -x^2 \Leftrightarrow y - 2 \neq \sqrt{i^{2}x^{2}} \Leftrightarrow y - 2 \neq ix$ Z tego wynika: $\begin{cases} y -2 \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow Re u \neq 0, Im u \neq 2$ Mając to na uwadze dalej rozwiązuję główną część: $\frac{x^{2} + y^{2} - 2y + 4x}{x^{2} + y^{2} - 4y + 4} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2y + 4x = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} - 4 + (y-1)^{2} - 1 = 0$ Ostatecznie: $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ Rozwiązaniem jest więc okrąg o środku $-2 + i$ i promieniu o długości $\sqrt{5}$. OSTATECZNIE, biorąc pod uwagę dziedzinę, wg. moich obliczeń jest to ww. okrąg, z pominięciem punktów (0,0) oraz (0,2i). Natomiast według klucza odpowiedzi, są to punkty $(-4,0)$ oraz $(0,2i)$... Sprawdzałem, czy faktycznie jakimś cudem $-4$ po podstawieniu pod $x$ powoduje wyzerowanie mianownika. Owszem, dzieje się tak, ale w puntach nie należących do wykresu. Chciałbym prosić o pomoc w ustaleniu, czy to ja popełniam gdzieś głupi błąd, którego nie zauważam, czy też błąd zawarty jest w książce.

tumor postów: 8070	2014-06-15 12:06:52 Sprawdźmy, niech $w=z-2i$, wówczas przykład ma postać $\frac{w+4+2i}{w}$ a zapisując $w=a+bi$ dostajemy $\frac{a+4+i(b+2)}{a+bi}=\frac{(a+4+i(b+2))(a-bi)}{a^2+b^2}= \frac{(a+4)a+b(b+2)+i(-b(a+4)+a(b+2) )}{a^2+b^2}$ Mamy mieć $(a+4)a+b(b+2)=0$ $a^2+4a+b^2+2b=0$ $(a+2)^2+(b+1)^2=4+1$ Zatem w leży na okręgu $((-2,-1),\sqrt{5}),$ czyli z leży na okręgu $((-2,1),\sqrt{5}),$ Wyrzucamy z dziedziny $z=2i$ (mianownik się zeruje). Nie wyrzucamy z dziedziny $z=0$. W liczbie $z=0$ rzeczywiście $Im(z)=0$, ale cóż z tego? :) Musimy natomiast wyrzucić jeszcze z dziedziny takie $z$, dla których $Im(u)=0$, bo warunek "$u$ czysto urojona" oznacza nie tylko $Re(u)=0$, ale też $Im(u)\neq 0$ $u=0 \iff z+4=0 \iff z=-4=(-4,0)$, stąd wyrzucenie tego punktu. ----- No i nie mieszaj zapisów. $a+bi=(a,b)$, nie pisze się $(a,bi)$

kitt94 postów: 7	2014-06-15 16:11:25 Rety, ale tragedia, zapomniałem obliczyć $ Re u \neq 0 $ Aż wstyd... Dobrze, a czy mógłbyś mi wytłumaczyć dosadniej dlaczego: "Nie wyrzucamy z dziedziny $z=0$. W liczbie $z=0$ rzeczywiście $Im(z)=0$, ale cóż z tego? :)" ? Czy ze względu na fakt, że skoro $u=\frac{z+4}{z-2i} \iff \frac{z+4}{0-2i}$ i wtedy mianownik nie zeruje się? Możliwe, że mam brak jakiejś elementarnej wiedzy... Wnioskuję w takim razie, że nieprawidłowo obliczyłem dziedzinę? "No i nie mieszaj zapisów. $a+bi=(a,b)$, nie pisze się $(a,bi)$ Fakt, poważny błąd. Dziękuję za odpowiedź i liczę na dalszą pomoc. Pozdrawiam!

tumor postów: 8070	2014-06-15 17:28:00 Liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych $(a,b)$, które częściej zapisujemy $a+bi$. Tylko jedna z tych liczb nie może być mianownikiem, tylko dla tej jednej liczby nieokreślone jest dzielenie. Ta liczba to $a+bi=0+0i$. Tylko przez tę liczbę nie wolno dzielić. Można bez obaw dzielić przez $0-2i$, to jest dzielenie w pełni wykonalne. Liczby zespolone tworzą ciało, tylko przez element neutralny dodawania (liczbę $0+0i$) nie wolno dzielić. Dlatego rozwiązanie jest okręgiem, który policzyłeś poprawnie, ale z wyrzuconymi punktem $(0,2)$ czyli inaczej $2i$, bo dla $z=2i$ cały mianownik jest równy $0$ i mamy dzielenie przez $0$, oraz poza punktem $z=-4=(-4,0)$, bowiem takie $z$ zeruje licznik, dostajemy $u=0$. $u=0$ nie jest liczbą czysto urojoną. Ma część rzeczywistą $0$, ale część urojoną też ma $0$. Dlatego wyrzucają tę liczbę w rozwiązaniu książkowym.

kitt94 postów: 7	2014-06-16 20:46:55 Rozumiem, dziękuję bardzo za pomoc!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj