Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 2489

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
rambo postów: 19	2014-07-01 16:47:17 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: $x^2+y^2=4, z=1-y, z=5$.

tumor postów: 8070	2014-08-21 20:25:14 Zrobimy to raz nudnym rachunkiem, a raz z pamięci. 1. Dla nudnego rachunku przygotujemy sobie całkę nieoznaczoną, z której się skorzysta potem: $\int \sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}dx=$ $\frac{x}{2}=sinu$ $dx=2cosudu$ $\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}=cosu$ $=\int 2cos^2udu=\int 2\frac{1+cos2u}{2}du=\int 1+cos2udu=u+2sin2u +c=u+4sinucosu+c=arcsin(\frac{x}{2})+4\frac{x}{2}\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}+c$ stąd $\int_{-2}^{2}\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}=arcsin1-arcsin(-1)=\pi$ Nasza (albo bryły, a nie nasza) objętość to $\int_{-2}^2 \int_{-2\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}^{2\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}5-(1-y)dydx= \int_{-2}^2 \int_{-2\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}^{2\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}4+ydydx= \int_{-2}^2 [4y+\frac{1}{2}y^2]_{-2\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}^{2\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}dx=\int_{-2}^2 16\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}dx=16\pi$ 2. W pamięci to robimy tak: bryła to walec, z jednego końca normalny, z drugiego ścięty pod kątem przez płaszczyznę. Jego objętość to pole podstawy mnożone przez wysokość figury w środku podstawy, czyli $4\pi 4$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj