Analiza matematyczna, zadanie nr 2500
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| tomix1992 postów: 18 |  2014-07-03 10:25:24Bardzo proszę o szybkie rozwiązanie jeśli można :) zbadać zbieżność (punktową i jednostajną) ciągu funkcyjnego $F_{n}(x)=x^{2n+2}-x^{2n}$, na przedziale $[-1,1]$ |
| tumor postów: 8070 | 2014-07-03 11:29:21 dla $x\in (-1,1)$ oczywiste jest $\lim_{n \to \infty}x^n=0$ dla $x=1$ granicą $x^n$ jest $1$, dla $x=-1$ granica nie istnieje. Czyli jeśli $x\in (-1,1)$ to $F_n(x)=\to 0$ Jeśli $x=\pm 1$, to $F_n(x)=0\to 0$ czyli $F_n$ punktowo zbieżny do funkcji stałej $0$. Zauważmy, że $F_n(x)=x^{2n+2}-x^{2n}=x^{2n}(x^2-1)$. Niech $\epsilon=\frac{1}{k}$ Pytamy, czy znajdziemy $n_0$, że dla $n>n_0$ mamy dla wszystkich $x\in [-1,1]$ $|F_n(x)-0|<\epsilon$, czyli $x^{2n}(1-x^2)< \frac{1}{k}$ Liczymy pochodną funkcji $|F_n{x}|$, jej ekstrema i sprawdzamy, czy maksimum dla pewnego $n$ daje się ograniczyć przez $\epsilon$. Mamy $|F_n(x)|`=2x^{2n-1}(n-x^2(n+1))$ co się zeruje dla $x=0$ (minimum) i dla $x=\pm \sqrt{\frac{n}{n+1}}$ (maksima). $|F_n(\pm \sqrt{\frac{n}{n+1}})|=(\frac{n}{n+1})^{n}-(\frac{n}{n+1})^{n+1}=(\frac{n}{n+1})^{n}(1-\frac{n}{n+1})$ natomiast nie budzi wątpliwości, że $(\frac{n}{n+1})^{n}(1-\frac{n}{n+1})<\frac{1}{k}$ dla $n\ge k$ Wiadomość była modyfikowana 2014-07-03 11:30:14 przez tumor |
| tomix1992 postów: 18 | 2014-07-03 11:34:47 Bardzo dziękuję Proszę Pana! :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj