Algebra, zadanie nr 2554

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
adamk postów: 27	2014-08-05 12:18:03 Ciąg an=cos((n-7)/((n^2)+1)) dla n $\in$ N w ów czas an jest/nie jest ograniczone bo... jest zbierzmy/rozbieżny bo... Przepraszam za błąd, powinienem był oznaczyć jako analiza matematyczna ale już nie mogę edytować. ;/ Wiadomość była modyfikowana 2014-08-05 12:46:56 przez adamk

tumor postów: 8070	2014-08-05 13:37:58 Spoko luz, ortografia jest bardziej denerwująca niż taka zamiana analizy z algebrą. Natomiast wdzięczny jestem, że stosujesz nawiasy, gdy nie umiesz napisać ułamka. Nie jest w TEXu, ale jest czytelnie, czyli się zrobi. $a_n=cos\frac{n-7}{n^2+1}$ $cosx$ oczywiście przyjmuje wartości z przedziału $[-1,1]$, zatem $-1 \le a_n \le 1$ czyli $a_n$ jest ograniczony. Ponadto zauważmy, że $1-cos\epsilon \le \epsilon$ dla $\epsilon \in (0,\frac{1}{10})$ Bowiem $sin\epsilon \le \epsilon$ $sin^2 \epsilon \le \epsilon^2$ $1-\epsilon^2 \le 1-sin^2\epsilon$ $1-2\epsilon+\epsilon^2 \le 1-\epsilon^2 \le cos^2\epsilon$ $(1-\epsilon)^2 \le cos^2 \epsilon$ $1-\epsilon \le cos \epsilon$ $1-cos\epsilon \le \epsilon$ (zresztą, tak teraz myślę, że łatwo też pokazać $1-cosx\le sinx$, co wobec $sinx \le x$ daje nam tę dość oczywistą nierówność) Ciąg $\frac{n-7}{n^2+1}$ jest zbieżny do $0$, a wyrazy ma (poza początkowymi) dodatnie, dla $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, że dla $n>n_0$ mamy $0 \le 1- cos \frac{n-7}{n^2+1} \le \frac{n-7}{n^2+1} \le \epsilon$ co oznacza zbieżność ciągu $a_n$. Przy okazji to zbieżność do liczby $1$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj