logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 2555

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2014-08-10 09:08:40

Wyznacz przestrzen rozwiazan ponizszego ukladu rownan i podaj jej wymiar.
$\left\{\begin{matrix} 2x+2z+s=0 \\ x-2y+s+3t=0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x+z+4t=0 \\ x-4y-z+s+10t=0 \end{matrix}\right.$
To jest jeden uklad rownan ale ja nie umiem zrobic takiej duzej klamry.

Rozwiazujac za pomoca metody Gaussa wyszlo mi tak:
x=2v-11w
y=v
z=-2v+7w
s=8w
t=w ; v, w$\in$R (v, w-parametry)

W-przestrzen rozwiazan tego ukladu
W={(2v-11w, v, -2v+7w, 8w, w): v, w$\in$ R}=lin{(2, 1, -2,0, 0), (-11, 0, 7, 8, 1)}
dimW=2
dobrze?


adamw88
postów: 8
2014-08-10 14:53:21

Pokaż, jak liczyłaś Gaussa, bo sprawdzenie nie wychodzi


geometria
postów: 865
2014-08-10 16:03:33

1 -4 -1 1 10 0
1 -2 0 1 3 0
1 0 1 0 4 0
2 0 2 1 0 0
II-I, III-I, IV-2I
1 -4 -1 1 10 0
0 2 1 0 -7 0
0 4 2 -1 -6 0
0 8 4 -1 -20 0
III-2II, IV-4I
1 -4 -1 1 10 0
0 2 1 0 -7 0
0 0 0 -1 8 0
0 0 0 -1 8 0
czyli
1 -4 -1 1 10 0
0 2 1 0 -7 0
0 0 0 -1 8 0

x-4y-z+s+10t=0
2y+z-7t=0
-s+8t=0

x=2y-11t
z=-2y+7t
s=8t
ostatecznie:
x=2v-11w
y=v
z=-2v+7w
s=8w
t=w


tumor
postów: 8070
2014-08-10 21:01:14

adamw88 - pokaż, jak sprawdzałeś, bo sprawdzenie sprawdzenia nie wychodzi :)

Wektory $(2, 1, -2,0, 0), (-11, 0, 7, 8, 1)$ są rozwiązaniami układu, ponadto to wektory niezależne, rozpinają przestrzeń wymiaru 2.

W macierzy układu bardzo łatwo zauważyć podmacierz 3x3 o niezerowym wyznaczniku, czyli jeśli układ nie jest sprzeczny, to ma najwyżej dwa parametry.

Gdzie zatem problem? Superowo.


geometria
postów: 865
2014-08-11 09:45:57

Dziekuje za pomoc.
A czy moge powiedziec, ze ta przestrzen to plaszczyzna w $R^5$? Czy jakby rozwiazaniem ukladu byly jednoznaczne liczby w tym przypadku 5 liczb to czy wtedy bylby to punkt i jego wymiar ile by wynosil? Wydaje mi sie, ze 0.



tumor
postów: 8070
2014-08-11 10:12:09

Tak, dwuwymiarową podprzestrzeń można nazwać płaszczyzną, aczkolwiek to pojęcie geometryczne i sugerowałbym używać raczej algebraicznych.

Jednym z rozwiązań układu jednorodnego jest zawsze punkt $(0,0,...,0)$, (w tym przypadku pięć zer oczywiście), przy tym nazwy punkt używam w rozumieniu geometrycznym, natomiast z punktu widzenia algebry liniowej to wektor (zerowy).

Każde równanie układu jednorodnego to pewna podprzestrzeń, w naszym przykładzie traktujemy je jako podprzestrzenie przestrzeni $R^5$. Część wspólna podprzestrzeni liniowych (czyli zbiór rozwiązań układu) jest podprzestrzenią liniową.

Może ona mieć najmniej wymiar $0$ (czyli jest to "punkt", wektor zerowy), a potem wymiar $1$ (prosta, ujmując geometryczne, a jednowymiarowa przestrzeń liniowa algebraicznie), wymiar $2$ (jak w tym przypadku, czyli geometrycznie rzecz ujmując to płaszczyzna).



geometria
postów: 865
2014-08-11 17:23:31

Dziekuje bardzo.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj