Analiza matematyczna, zadanie nr 2569

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mimi272 postów: 5	2014-08-11 13:35:18 Hej:) Czy ktoś mógłby pomóc mi udowodnić poniższe twierdzenie: - Kryterium d'Alemberta-Salechowa Z dowolną liczbą naturalną l i z szeregiem $\sum a_n$ o wyrazach dodatnich stowarzyszymy ciąg d'Alemberta-Salechowa $A_{n}^{(l)} = \frac{a_n}{a_{n+l}} $ Jeśli $\liminf_{n} A_{n}^{(l)} > 1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbieżny. Jeśli $A_{n}^{(l)}\le 1$ dla dostatecznie dużych n, to szereg $\sum a_n$ jest rozbieżny. Będę bardzo wdzięczna za pomoc:)

tumor postów: 8070	2014-08-11 16:36:37 $ lim inf_n \frac{a_n}{a_{n+l}}=a>b>1$ (granica dolna równa jest $a$, jest to liczba większa od $1$, natomiast w przedziale $(1,a)$ na pewno znajdziemy liczbę $b$) czyli dla prawie wszystkich wyrazów ciągu mamy $\frac{a_{n+l}}{a_{n}}<\frac{1}{b}<1$ Możemy dla $i\in \{1,2,...,l \}$ rozpatrywać ciągi postaci $c^i_k=a_{i+(k-1)l}$ Wówczas dla prawie wszystkich wyrazów mamy $\frac{c^i_{k+1}}{c^i_{k}}<\frac{1}{b}<1$ czyli szeregi $\sum c^i_k$ są zbieżne (na mocy kryterium d'Alemberta), natomiast każda częściowa suma $\sum_{i=1}^na_i$ jest ograniczona z góry przez $\sum_{i=1}^l\sum_{k=1}^\infty c^i_k$, co oznacza zbieżność. ---- Nie wiem, co ma znaczyć "dla dostatecznie dużych $n$". Przy dowolnie wybranym ustalonym $n\in N$ i $l\in N$, nie ma żadnego znaczenia dla zbieżności szeregu wartość $n$ początkowych ułamków $\frac{a_n}{a_{n+l}}$ Rozważmy ciąg $c_n$ polegający na tym, że dla pewnego ustalonego $l$ pierwsze $l$ wyrazów to $1$, następne $l$ wyrazów to $\frac{1}{2^1}$, następne $l$ wyrazów to $\frac{1}{2^2}$, następne $l$ wyrazów to $\frac{1}{2^3}$ i tak dalej, sumą szeregu jest $2*l$ (nie chce mi się ciągu $c_n$ zapisywać formalnie). Wówczas dla dowolnie dużego $M$ naturalnego znajdziemy $n>M$ dla którego będzie $C_n^{(l)}=\frac{c_n}{c_{n+l}}=1$, a zbieżności to nie wyklucza. Mało tego. Oczywiście zbieżny jest szereg $\sum (\frac{2}{3})^n$, czyli suma ciągu polegającego na tym, że pierwsze $2^1$ wyrazów ma wartość $\frac{1}{3^1}$, następne $2^2$ wyrazów ma wartość $\frac{1}{3^2}$, ...., w końcu $2^p$ wyrazów ma wartość $\frac{1}{3^p}$, czyli mimo tego, że dla każdego $l$ naturalnego i dla każdego $M$ naturalnego znajdziemy $n>M$ takie, że $A_n^{(l)}=\frac{a_n}{a_{n+l}}=1$, a nawet znajdziemy nieskończenie wiele wyrazów $a_{n_k}$ o tej własności, szereg $\sum a_n$ pozostaje zbieżny. Jeśli natomiast $A_n^{(l)}\le 1$ dla wszystkich $n$ od pewnego $n_0$ począwszy, to wtedy nie ma tu czego dowodzić, twierdzenie się robi trywialne, bowiem oznacza to po prostu, że począwszy od pewnego $n_0$ wszystkie $a_n$ są większe lub równe $min\{a_{n_0+1},a_{n_0+2},...,a_{n_0+l},\}$, co wobec faktu, że ciąg ma wyrazy dodatnie, oznacza, że nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. --- Uwaga. Jestem dziś senny. Mogą być błędy. Należy to przeczytać ze zrozumieniem i mnie w razie czego skrytykować.

mimi272 postów: 5	2014-08-11 23:26:27 A może jakiś przykład szeregu do którego można zastosować to kryterium?

tumor postów: 8070	2014-08-11 23:48:06 Bardzo łatwo takie stworzyć. Weź dwa ciągi (takie, żeby ich szeregi były zbieżne) i wymieszaj wyrazy (raz z jednego ciągu, raz z drugiego). Wtedy może się zdarzyć, że zwykłe kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga. $a_n=\frac{1}{2^n}$ $b_n=\frac{1}{3^n}$ $c_n=\left\{\begin{matrix} a_\frac{n}{2} \mbox{ dla n parzystych}\\ b_{\frac{n+1}{2}} \mbox{ dla n nieparzystych} \end{matrix}\right.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj