Topologia, zadanie nr 2572
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2014-08-11 21:09:09Czy zbi贸r $\{(x,y) \in [0,1]^2|\exists_{n \in \mathbb{N}}:x=\frac{1}{n} \vee y=\frac{1}{n}\} $ jest zwarty w topologii euklidesowej p艂aszczyzny? Czy jest sp贸jny? Odpowiedzi uzasadni膰. Bardzo prosz臋 o pomoc :) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 21:38:46 Trzeba Ci przypomina膰, 偶e lepiej samodzielnie pr贸bowa膰 ni偶 tylko czeka膰 na odpowied藕? W $R^2$ zwarte podzbiory s膮 domkni臋te i ograniczone, ten jest oczywi艣cie ograniczony, wi臋c pozostaje albo sprawdza膰 zwarto艣膰 z definicji, albo domkni臋to艣膰. Tutaj sprawdza艂bym domkni臋to艣膰, bo mamy od razu przeb艂ysk intuicji, by sprawdzi膰 punkt $x_0=(0;0)$ Zauwa偶amy, 偶e nale偶y on do domkni臋cia zbioru, bo ka偶de jego otoczenie zawiera punkty o co najmniej jednej wsp贸艂rz臋dnej postaci $\frac{1}{n}$. Sam punkt $x_0$ nie nale偶y jednak do zbioru z zadania, zbi贸r nie jest domkni臋ty. (Og贸lniej: zwarty podzbi贸r przestrzeni Hausdorffa jest domkni臋ty, kt贸re艣 twierdzenie tej postaci pewnie by艂o na wyk艂adzie dowodzone. W og贸le czemu teraz robisz topologi臋?) Co do sp贸jno艣ci: najlepiej chyba sprawdzi膰 drogow膮 sp贸jno艣膰, czyli pokaza膰, 偶e mi臋dzy dowolnymi punktami nale偶膮cymi do zbioru 艂atwo prowadzi膰 drog臋. Skoro przestrze艅 jest drogowo sp贸jna, to i sp贸jna. Jak masz wi臋cej zada艅 to rzucaj, ale naprawd臋 - lepiej b臋dzie od razu z pr贸bami odpowiedzi, z pomys艂ami. Topologia to 艣wietny trening z samodzielnego szukania odpowiedzi, bo nie jest to trudne (na tym poziomie), ale wymaga jakiej艣 inwencji (z uwagi na og贸lno艣膰 pewnych sformu艂owa艅 a konkretno艣膰 przyk艂ad贸w) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj