Topologia, zadanie nr 2572

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2014-08-11 21:09:09 Czy zbiór $\{(x,y) \in [0,1]^2\|\exists_{n \in \mathbb{N}}:x=\frac{1}{n} \vee y=\frac{1}{n}\} $ jest zwarty w topologii euklidesowej płaszczyzny? Czy jest spójny? Odpowiedzi uzasadnić. Bardzo proszę o pomoc :)

tumor postów: 8070	2014-08-11 21:38:46 Trzeba Ci przypominać, że lepiej samodzielnie próbować niż tylko czekać na odpowiedź? W $R^2$ zwarte podzbiory są domknięte i ograniczone, ten jest oczywiście ograniczony, więc pozostaje albo sprawdzać zwartość z definicji, albo domkniętość. Tutaj sprawdzałbym domkniętość, bo mamy od razu przebłysk intuicji, by sprawdzić punkt $x_0=(0;0)$ Zauważamy, że należy on do domknięcia zbioru, bo każde jego otoczenie zawiera punkty o co najmniej jednej współrzędnej postaci $\frac{1}{n}$. Sam punkt $x_0$ nie należy jednak do zbioru z zadania, zbiór nie jest domknięty. (Ogólniej: zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty, któreś twierdzenie tej postaci pewnie było na wykładzie dowodzone. W ogóle czemu teraz robisz topologię?) Co do spójności: najlepiej chyba sprawdzić drogową spójność, czyli pokazać, że między dowolnymi punktami należącymi do zbioru łatwo prowadzić drogę. Skoro przestrzeń jest drogowo spójna, to i spójna. Jak masz więcej zadań to rzucaj, ale naprawdę - lepiej będzie od razu z próbami odpowiedzi, z pomysłami. Topologia to świetny trening z samodzielnego szukania odpowiedzi, bo nie jest to trudne (na tym poziomie), ale wymaga jakiejś inwencji (z uwagi na ogólność pewnych sformułowań a konkretność przykładów)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj