Inne, zadanie nr 2574

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2014-08-11 22:50:00 Chcialbym zadac kilka pytan i rozwiac swoje watpliwosci na temat przeksztalcen liniowych. (w $R^3$) symetria liniowa (czyli przechodzi przez punkt (0,0,0)) Chcialbym zapytac czy wszystkie symetrie liniowe maja wartosci wlasne 1 i -1? Czy dla symetrii liniowej zawsze jest tak, ze dla wartosci wlasnej -1 przestrzenia wlasna jest prosta a dla wartosci wlasnej 1 plaszczyzna? Czy macierz symetrii liniowej jest zawsze symetryczna? Czy macierze obrotow wzgledem osi ukladu wspolrzednych maja jakies szczegolne wlasnosci? (np. wartosc wyznacznika, prostopadlosc kolumn, itp.) ?

tumor postów: 8070	2014-08-11 23:39:35 Jeszcze sprecyzuj tę symetrię. Jeśli to ma być symetria względem płaszczyzny (do tego liniowa, czyli płaszczyzna przechodzi przez $(0,0,0)$), to oczywiście wektory na płaszczyźnie będą przekształcone same na siebie, wektory na prostej prostopadłej do płaszczyzny i przechodzącej przez $(0,0,0)$ będą przekształcone na wektory przeciwne, a wszystkim pozostałym wektorom zmieni się kierunek. Stąd płaszczyzna jako podprzestrzeń dla wartości własnej $1$ i prosta jako podprzestrzeń dla wartości własnej $-1$. (dokończę odpowiadać przy okazji) Zastanów się, jak to będzie dla symetrii względem punktu lub symetrii względem prostej, tam też są wartości własne przekształcenia (i dość łatwe pytanie: czy mogą to być wartości 1, -1?).

geometria postów: 865	2014-08-13 11:23:52 Symetria liniowa (bez czesci translacyjnej). Dla symetrii liniowej względem punktu lub symetrii liniowej względem prostej tez moga byc wartosci wlasne 1, -1. Macierze obrotow wzgledem osi ukladu wspolrzednych (w $R^3$) sa ortogonalne a ich wyznacznik wynosi 1.

tumor postów: 8070	2014-08-13 12:48:40 Dla symetrii względem punktu $(0,0,0)$ będziemy mieć tylko wartość własną $-1$, bo dokładnie każdy wektor jest przekształcany na przeciwny. (no, oczywiście, dla wektora zerowego nie ma znaczenia, czy jest sobą czy wektorem przeciwnym) Dla symetrii względem prostej przechodzącej przez (0,0,0) będziemy mieć prostą dla wartości własnej 1 (dokładnie będzie to oś symetrii), natomiast płaszczyznę dla wartości własnej -1 (będzie to płaszczyzna prostopadła do osi symetrii, przechodząca przez (0,0,0))

geometria postów: 865	2014-08-13 17:15:02 Dziekuje

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj