Analiza matematyczna, zadanie nr 2575
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mimi272 post贸w: 5 |  2014-08-12 16:06:12Hej. Czy kto艣 m贸g艂by poda膰 przyk艂ad szeregu, kt贸ry jest rozbie偶ny ale nie da si臋 tego stwierdzi膰 przy u偶yciu kryterium raabego a da si臋 to stwierdzi膰 dzi臋ki kryterium schlomilcha co pozwoli nam pokaza膰 偶e to drugie kryterium jest mocniejsze. Albo po prostu rozwi膮za膰 jaki艣 przyk艂ad przy pomocy kryterium schlomilcha? Kryterium Raabego: Z szeregiem $\sum a_n$ o wyrazach dodatnich stworzymy ci膮g Raabego: $\mathcal{R}_n=n{(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$. Je艣li $\liminf_{n\to\infty}{\mathcal{R}_n}>1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbie偶ny. Je艣li $\mathcal{R}_n\le 1$ dla dostatecznie du偶ych n, to szereg $\sum a_n$ jest rozbie偶ny. Kryterium Schlomilcha Z szeregiem $\sum a_n$ o wyrazach dodatnich stworzymy ci膮g Schlomilcha: $\mathcal{S}_n=n\ln{\frac{a_n}{a_{n+1}}}$. Je艣li $\liminf\mathcal{S}_n>1$, to szereg $\sum a_n$ jest zbie偶ny. Je艣li $\mathcal{S}_n\le 1$ dla dostatecznie du偶ych n, to szereg $\sum a_n$ jest rozbie偶ny. |
adamw88 post贸w: 8 | 2014-08-13 11:47:53 To za艂atwi艂bym wsp贸ln膮 prac膮. Wskaz贸wk膮 jest iloraz $\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$Odszukajmy szereg o takiej w艂asno艣ci, 偶e $\frac{a_{n}}{a_{n+1}} = 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ W贸wczas kryterium Raabego zawodzi.(wszystkie nier贸wno艣ci powinny by膰 ostre) $R_{n}= -1+\frac{1}{n}$Kryterium Shclomlicha da w贸wczas rozstrzygni臋cie na stron臋 zbie偶nego szeregu. 1.Znale藕膰 szereg o tym ilorazie 2. Tak zmodyfikowa膰 przyk艂ad, aby otrzyma膰 szereg rozbie偶ny |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-13 12:35:31 (!!!!!!!!!!!!!!! Zauwa偶amy chyba, 偶e $1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\le 1$ St膮d szereg o w艂asno艣ci zadanej przez adamw88 jest rozbie偶ny na mocy kryterium d\'Alemberta nawet, c贸偶 dopiero na mocy kryteri贸w subtelniejszych. A kryterium Raabego niby nie rozstrzyga? C贸偶 za brednie. !!!!!!!!!!!!!!!) Je艣li $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1-\frac{n-1}{n^2}$ to $\lim_{n \to \infty}nln(1-\frac{n-1}{n^2})= \lim_{n \to \infty}ln(1-\frac{n-1}{n^2})^n= \lim_{n \to \infty}ln(1-\frac{n-1}{n^2})^{\frac{n^2}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n^2}\cdot n}=-1$ Jakie偶 zatem daje rozstrzygni臋cie kryterium Schlomilcha? Takie jak Raabego. Bo mamy $\frac{a_n}{a_{n+1}}>1$. Rozbie偶ny! Nie spe艂nia warunku koniecznego zbie偶no艣ci! Poza tym nawet zmiana znaku na + w proponowanej w艂asno艣ci nic nie da, o bo w granicy powy偶ej zmieni膮 si臋 tylko znaki z - na +, co da nierozstrzyganie tak w kryterium Raabego, jak w kryterium Schlomilcha. adamw88, mylisz na tym forum ludzi. Regularnie. ---- Je艣li chodzi o samo rozwi膮zanie zadania, to znalezienie szeregu zbie偶nego, dla kt贸rego jedno z kryteri贸w rozstrzyga, wcale nie dowodzi, 偶e kryterium jest mocniejsze. Dow贸d, 偶e kryterium Schlomilcha nie jest s艂absze, wygl膮da艂by tak: $liminf_n R_n>1 \Rightarrow$ $liminf_n R_n>a>1 \Rightarrow$ dla $n>n_0$ mamy $R_n>a>1$ $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)>a>1$ $\frac{a_n}{a_{n+1}}>(1+\frac{a}{n})>(1+\frac{1}{n})$ $nln(\frac{a_n}{a_{n+1}})>ln((1+\frac{a}{n}))^n>ln(1+\frac{1}{n})^n$ przy tym skoro po przej艣ciu do granicy mamy $\lim_{n \to \infty} ln((1+\frac{a}{n}))^n= a>1= \lim_{n \to \infty}ln((1+\frac{1}{n}))^n$, to dla $m>m_0$ mamy $ln((1+\frac{a}{m}))^m >1= \lim_{n \to \infty}ln((1+\frac{1}{n}))^n$ wobec czego tak偶e $mln(\frac{a_m}{a_{m+1}})>ln((1+\frac{a}{m_0+1}))^{m_0+1}>1$ czyli $liminf_n S_n>1$ W贸wczas dopiero wystarczy znale藕膰 jeden szereg, co do kt贸rego kryterium R. zawodzi, a S. rozstrzyga. Przy tym nie jest to szereg o w艂asno艣ci podanej przez adamw88 (Sk膮din膮d, gdy adamw88 podaje t臋 w艂asno艣膰, to ju偶 nie trzeba szeregu \"odszukiwa膰\", bo ta w艂asno艣膰 dla dowolnie wybranego dodatniego $a_1$ DEFINIUJE JU呕 rekurencyjnie ca艂y szereg. U licha.) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj