logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 2580

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nika_nika
postów: 9
2014-08-17 21:09:16


Udowodnić, że dla każdego n\in N zachodzi równość
1^2 + 5^2 + 9^2 + (4n-3)^2 = 1/3n (16n^2 - 12n - 1)

Bardzo proszę o pomoc:) Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki i obliczenia.



tumor
postów: 8070
2014-08-17 21:29:44

Indukcyjnie.
Sprawdzamy $n=1$

$1^2=\frac{1}{3}*1*(16-12-1)$

Działa.

Założenie indukcyjne:
$1^2+5^2+...+(4n-3)^2=\frac{1}{3}n(16n^2-12n-1)$

Teza:
$1^2+5^2+...+(4n-3)^2+(4n+1)^2=\frac{1}{3}(n+1)(16(n+1)^2-12(n+1)-1)$

Dowód:
$1^2+5^2+...+(4n-3)^2+(4n+1)^2=(Z)=\frac{1}{3}n(16n^2-12n-1)+(4n+1)^2=\frac{1}{3}(16n^3-12n^2-n+48n^2+24n+3)=
\frac{1}{3}(16(n+1)^3-12(n+1)^2-(n+1))=\frac{1}{3}(n+1)(16(n+1)^2-12(n+1)^1-1)$

gdzie $=(Z)=$ oznacza moment skorzystania z założenia indukcyjnego.

Wzorów na trzecią potęgę nie rozpisywałem, bo są proste. Dobrze będzie jeśli sobie sprawdzisz wszystkie równości.


nika_nika
postów: 9
2014-08-17 21:35:23

Dziękuję:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj