Teoria liczb, zadanie nr 2580
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
nika_nika postów: 9 | 2014-08-17 21:09:16 Udowodnić, że dla każdego n\in N zachodzi równość 1^2 + 5^2 + 9^2 + (4n-3)^2 = 1/3n (16n^2 - 12n - 1) Bardzo proszę o pomoc:) Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki i obliczenia. |
tumor postów: 8070 | 2014-08-17 21:29:44 Indukcyjnie. Sprawdzamy $n=1$ $1^2=\frac{1}{3}*1*(16-12-1)$ Działa. Założenie indukcyjne: $1^2+5^2+...+(4n-3)^2=\frac{1}{3}n(16n^2-12n-1)$ Teza: $1^2+5^2+...+(4n-3)^2+(4n+1)^2=\frac{1}{3}(n+1)(16(n+1)^2-12(n+1)-1)$ Dowód: $1^2+5^2+...+(4n-3)^2+(4n+1)^2=(Z)=\frac{1}{3}n(16n^2-12n-1)+(4n+1)^2=\frac{1}{3}(16n^3-12n^2-n+48n^2+24n+3)= \frac{1}{3}(16(n+1)^3-12(n+1)^2-(n+1))=\frac{1}{3}(n+1)(16(n+1)^2-12(n+1)^1-1)$ gdzie $=(Z)=$ oznacza moment skorzystania z założenia indukcyjnego. Wzorów na trzecią potęgę nie rozpisywałem, bo są proste. Dobrze będzie jeśli sobie sprawdzisz wszystkie równości. |
nika_nika postów: 9 | 2014-08-17 21:35:23 Dziękuję:) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj