Analiza matematyczna, zadanie nr 2587

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sylwia9405 postów: 21	2014-08-21 00:13:30 wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(x,y)=(x-1)^2+2y^2-(x-1)y przy warunku 2x+y=24 wyznaczyłam pochodne i rzędu f'x=2x-2-y-2a f'y=4y-x-a) nie bardzo wiem jak się wyznacza pochodne drugiego rzędu chodzi mi o te f''xy f'' yx - wiem, że muszą być takie same

tumor postów: 8070	2014-08-21 08:32:29 Metoda Lagrange'a: $F(a,x,y)=(x-1)^2+2y^2-(x-1)y+a(2x+y-24)$ $\frac{dF}{da}=2x+y-24$ $\frac{dF}{dx}=2(x-1)-y+2a$ $\frac{dF}{dy}=4y-x+1+a$ Rozwiązujemy układ równań $\left\{\begin{matrix} 2x+y-24 =0 \\ 2(x-1)-y+2a=0 \\4y-x+1+a=0 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} 2(x-1)-(24-2x)+2a=0 \\ 4(24-2x)-x+1+a=0 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} 4x+2a-26=0 \\ -9x+a +97=0 \end{matrix}\right.$ $4x+2(9x-97)-26=0$ $22x=220$ $x=10$ $a=-7$ $y=4$ Drugie pochodne to pochodne z pochodnych, tylko tu jest ich sporo. Liczy się je normalnie, jakby pierwsza pochodna była funkcją wyjściową. $\frac{d^2F}{da^2}=0$ $\frac{d^2F}{dx^2}=2$ $\frac{d^2F}{dy^2}=4$ $\frac{d^2F}{dadx}=2$ $\frac{d^2F}{dady}=1$ $\frac{d^2F}{dxda}=2$ $\frac{d^2F}{dxdy}=-1$ $\frac{d^2F}{dydx}=-1$ $\frac{d^2F}{dyda}=1$ $\det\left[\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 4 \end{matrix}\right]=-22$ ------------ Natomiast zdziwiło mnie, że jednak robisz tą metodą przy tak łatwych funkcjach. :) $f(x,y)=(x-1)^2+2y^2-(x-1)y$ przy warunku $2x+y=24$ Podstawiamy warunek $y=24-2x$ do wzoru funkcji $f(x)=(x-1)^2+2(24-2x)^2-(x-1)(24-2x) =x^2-2x+1+1152-192x+8x^2+2x^2-26x+24=11x^2-220x+1177$ a ekstremum paraboli można znaleźć i bez pochodnej $x=\frac{-b}{2a}=10$ $y=24-2x=4$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj