logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 2588

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nika_nika
postów: 9
2014-08-21 21:20:41

Udowodnić, że dla każdego n$\in$N liczba $2^{2n}$- 6 jest podzielna przez 10, jeśli n$\ge$2.

Chyba popełniłam jakiś błąd, cały czas wychodzi mi 40k + 18, co oczywiście nie może być prawidłowym rozwiązaniem, bo nie jest podzielne przez 10. Ech...

Z góry dziękuję za pomoc...


tumor
postów: 8070
2014-08-21 21:42:53

Możesz tu wstawiać swoje rozwiązania, oceni się.

dla $n=2$ mamy $2^4-6=10$, $10|10$ czyli ok.

ale dla $n=3$ mamy $2^6-6=58$, co oczywiście nie jest podzielne przez $10$. :)
Błąd jest zatem w poleczeniu. Myślimy zatem, jaką literówkę mógł ktoś popełnić.
Sprawdźmy na przykład $2^{2^n}-6$,
dla $n=2$ mamy $10$
dla $n=3$ mamy $250$
dla $n=4$ mamy $65530$
Zatem mamy podstawę do podejrzeń, że tak miał wyglądać przykład :P

Z: $10|2^{2^n}-6$
T: $10|2^{2^{n}*2}-6$
D: Liczba $2^{2^n}-6$ jest podzielna przez $10$ na mocy założenia, także $-6(2^{2^n}-6)$ jest podzielna przez $10$ jako iloczyn liczby podzielnej przez $10$ i liczby całkowitej.

Liczba
$2^{2^{n}*2}-6$ jest zatem podzielna przez $10$ wtedy i tylko wtedy gdy podzielna przez $10$ jest liczba $2^{2^{n}*2}-6-6(2^{2^n}-6)$,
mamy jednak
$2^{2^{n}*2}-6-6(2^{2^n}-6)=2^{2^n}(2^{2^n}-6)+36-3=2^{2^n}(2^{2^n}-6)+30$, jest to liczba podzielna przez $10$ jako suma liczb podzielnych przez $10$, co kończy dowód tego zmienionego zadania. :)

---

Uwaga:
to się w życiu zdarza, w książkach też są zadania z literówkami. Choć czasem zadanie mówi "udowodnij", warto się, gdy dowód nie wychodzi, zastanowić, czy na pewno udowadnia się zdanie prawdziwe. :)


nika_nika
postów: 9
2014-08-21 21:48:27

Rzeczywiście... źle przepisałam, cały czas rozwiązywałam przykład wyrywając sobie włosy z głowy dlaczego nie wychodzi... Dziękuję serdecznie za zauważenie błędu i pomoc:) i przepraszam za kłopot:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj