logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 2678

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dzoannam89
postów: 34
2014-10-08 19:52:13

Proszę o pomoc w takim zadaniu:
czy podany zbiór:
a) otwarty?
b) ograniczony?
Odpowiedź uzasadnij:
$C= \left\{ x \in R^3: \begin{vmatrix}x_1+x_2+x_3 \end{vmatrix}<2, x^2_{2}+x^2_{3}< 3\right\}$

Wiadomość była modyfikowana 2014-10-08 20:09:03 przez dzoannam89

tumor
postów: 8070
2014-10-12 11:21:35

Zauważmy, że oczywiście
$x_2$ i $x_3$ są z przedziału $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$, by spełniony był drugi warunek.
Wówczas
$x_2+x^2\in (-2\sqrt{3},2\sqrt{3})$, aby
$|x_1+x_2+x_3|<2$ musi być $x_1 \in (-2-2\sqrt{3}, 2+2\sqrt{3})$
Ograniczenie na wszystkich trzech współrzędnych oznaczają, że zbiór jest ograniczony.

Zbiór jest także otwarty. Weźmy $P=(x,y,z) \in C$,
pokażemy, że istnieje całe jego otoczenie otwarte zawarte w $C$.
(Dla skrótu korzystam tu z faktu równoważności metryk euklidesowej, taksówkowej, maksimum, który to fakt jest dowiedziony parę razy na tym forum wśród zadań z topologii)

Jeśli $|x+y+z|<2$, to niech $\epsilon=\frac{2-|x+y+z|}{4}$, wówczas
$K_m(P,\epsilon)\subset \{(a,b,c): |a+b+c|<2\}$, czyli
$A=\{(a,b,c): |a+b+c|<2\}$ jest otwarty.

Podobnie jeśli $y^2+z^2<3$, to niech $\epsilon=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{y^2+z^2}}{666}$, wówczas $K_e(P,\epsilon)\subset \{(a,b,c):b^2+c^2<3\}$, czyli
$B= \{(a,b,c):b^2+c^2<3\}$ otwarty.

Zatem $C=A\cap B$ otwarty.

----

$K_m$ oznacza kulę metryki maksimum, $K_e$ euklidesowej.




dzoannam89
postów: 34
2014-10-21 22:08:48

mam pytanko jak wykazać, żeby te dwa $\epsilon$ dobrać takie i że ono będzie dobre? :)


dzoannam89
postów: 34
2014-10-22 17:06:39

bo nie wiem właśnie dlaczego takie i dlaczego w tym drugim jest w liczniku 666?:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj