Analiza funkcjonalna, zadanie nr 271

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mi0 postów: 1	2011-12-09 14:34:44 witam... mam pewien problem z roznowartosciowoscia, suriekcja i bijekcja... ja to rpzynjamniej tak rozumiem, ze aby sprawdzic roznowartosciowosc, nalezy udowodnic ze x1=x2 zeby sprawdzic suriekcje nalezy wyliczyc z podanej funkcji X, i ma on byc z przedzialu <0;+nieksonczonosci) zeby sprawdzzic bijekcje to funkcja musi byc roznowartosciowa i suriektywna. ale jak odwrocic ta funkcje??? ehh Mogłby ktos to wytlumaczyc jakos na ''chlopski rozum''?? (moze tez jakies wskazowki ogolne do roznowartosciowosci, suriekcji i bijekcji)?? bardzo bylbym wdzieczny za pomoc...

tumor postów: 8070	2014-07-21 07:41:15 Niech naszą funkcją będzie $f:X\to Y$ Funkcja jest różnowartościowa, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, to znaczy gdy weźmiemy $x_1\neq x_2\in X$ i otrzymamy $f(x_1)\neq f(x_2)$. Na przykład dla funkcji $g:R\to R$ danej wzorem $g(x)=x^3$ jeśli mamy $x_1>x_2\ge 0$, to $g(x_1)=x_1^3=(x_2+\epsilon)^3=x_2^3+3x_2^2\epsilon+2x_2\epsilon^2+\epsilon^3>g(x_2)$, a wobec tego, że $g$ jest nieparzysta i dla dodatnich argumentów przyjmuje wartości dodatnie mamy już pewność, że dla różnych $x_1,x_2$ otrzymamy różne wartości $f(x_1),g(x_2)$ Inaczej różnowartościowość możemy zapisać warunkiem: $(f(x_1)=f(x_2)) \Rightarrow (x_1=x_2)$ który znaczy to samo, co warunek poprzedni. Weźmy na przykład h$(x)=\frac{2}{3x-1}$ w sensownej dziedzinie. Gdy $h(x_1)=h(x_2)$ to $\frac{2}{3x_1-1}=\frac{2}{3x_2-1}$ $\frac{3x_1-1}{2}=\frac{3x_2-1}{2}$ $3x_1-1=3x_2-1$ $3x_1=3x_2$ $x_1=x_2$ ----- Surjektywność oznacza, że cała przeciwdziedzina jest zbiorem wartości, to znaczy, że dla każdego $y\in Y$ istnieje $x\in X$, że $f(x)=y$. Na przykład wspomniana funkcja $g$ jest suriekcją, bo jeśli weźmiemy $y\in R$, to $x=\sqrt[3]{y}$ spełnia $g(x)=g(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y$ Natomiast funkcja $k:R\to R$ dana wzorem $k(x)=x^2$ nie jest suriekcją, bo biorąc $y=-1$ nie znajdziemy $x$ takiego, że $f(x)=y$ ----- Odwracanie funkcji polega na wyliczeniu $x$ z równania $y=f(x)$, na przykład $y=\frac{2}{3x-1}$ $3x-1=\frac{2}{y}$ $3x=\frac{2}{y}+1$ $x=\frac{2}{3y}+\frac{1}{3}$ otrzymujemy funkcję daną wzorem $l(x)=\frac{2}{3x}+\frac{1}{3}$ i jest to funkcja odwrotna do funkcji $h$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj