Analiza matematyczna, zadanie nr 2731

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
stanislaw85 postów: 3	2014-10-24 10:03:39 Proszę o pomoc, bo nikt na razie nie umiał mi poradzić: Znajdź kąt między wektorami $\vec{a}$ i $\vec{b}$ wiedząc, że wektor $5\vec{a} - 4\vec{b}$ jest prostopadły do wektora $2\vec{a} + 4\vec{b}$, a wektor$\vec{a} - 5\vec{b}$ jest prostopadły do wektora $6\vec{a} - 2\vec{b}$ Nie potrzeba obliczeń, tylko ogólny szkic rozwiązania. Gdy podstawiam za wektor a =(x,y\) i b=(z,g) i korzystam z iloczynu skalarnego równego zero(bo prostopadłość) wychodzi mi układ dwóch równań z czterema niewiadomymi. Gdy natomiast rozpisałem: $(5 \vec{a} -4 \vec{b})o(2 \vec{a}+4 \vec{b})= 10\| \vec{a}\| ^{2} + 12\| \vec{a}\| \cdot \| \vec{b}\| \cdot cos \alpha - 16\| \vec{b}\| ^{2}$ (gdzie $\alpha$ to kąt między wektorami) to ma być równe zero, z drugiej pary wektorów też wychodzi coś podobnego, jednak dalej mam 2 równania i 3 niewiadome. Dziękuję..

patjas postów: 1	2014-10-25 13:18:22 Wyliczysz jeden z iloczynów, drugi z iloczynów skalarnych. Potem zauważ, że współczynnik przy $b^{2}$ w drugim równaniu jest (-2,5)raza większy od współczynnika przy równieź $b^{2}$. Zatem przemnóżmy pierwsze równanie przez 2,5 , po czym dodajmy jedno do drugiego. Dostaniemy, że $15,5\|\vec{a}\|^{2} -\vec{a}\circ \vec{b}= 0 $. Przenosimy a skalarnie b na prawą stronę i korzystamy, że $ \|\vec{a}\|^{2} = \vec{a} \circ \vec{a} $. A zatem dostaniemy, że ( wektor $ \vec{a} $ jest niezerowy, albowiem gdyby tak było, to byśmy mieli z pierwszego warunku, że $ -4\vec{b} $ jest prostopadły do $ 4\vec{b} $, przy czym z własności wektorów, są one także równoległe. Prostopadłość i rownoległość nie może zachodzić jednocześnie. Sprzeczność z zał, że $ \vec{a} $ jest wektorem zerowym) $ \vec{b}=~15,5\vec{a} $. Wstawiamy to do pierwszego równania i otrzymasz cos kąta bez żadnych zmiennych. :) Mam nadzieję, że napisałem dosyć zwięźle ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj