Analiza matematyczna, zadanie nr 2734

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
primrose postów: 62	2014-10-25 16:41:34 Udowodnij, że dla każdego $n \in N$ liczba $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ jest niewymierna. Próbowałam standardowo przez dowód nie wprost - przyrównanie do $\frac{p}{q}$ i skorzystanie z podzielności obu stron równania, ale niestety udało mi się doprowadzić do końca. Z góry dziękuję za pomoc lub wskazówki :)

tumor postów: 8070	2014-10-25 17:17:06 Miałaś dobrą metodę, tylko pewnie Ci się odechciało robić w trakcie. $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ $n+1-2\sqrt{(n+1)(n)}+n=\frac{p^2}{q^2}$ Stąd jeśli $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ jest wymierna, to także $\sqrt{(n+1)(n)}=\frac{p^2-q^2(2n+1)}{-2q^2}$ jest wymierna. Wystarczy zatem pokazać, że $\sqrt{(n+1)(n)}$ wymierna nie jest. Znów standardowo. $\sqrt{(n+1)(n)}=\frac{a}{b}$ do kwadratu $(n+1)n=\frac{a^2}{b^2}$ $b^2(n+1)n=a^2$ Prawa strona jest kwadratem, lewa nie jest. (Czemu?)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj