Analiza matematyczna, zadanie nr 2974

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
laudika postów: 3	2015-01-05 15:47:19 Witam, mam spory problem z badaniem ciągłości funkcji dwóch zmiennych. Zadanie wygląda tak: Zbadaj ciągłość funkcji $ f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} , x^2+y^2>0 \\ 0 , x^2+y^2=0 \end{matrix}\right. $. Zaczęłam tak: $ u_{1}=[(x,y)\in R^2: x^2+y^2=0] $ f jest ciągła dla każdego punktu $ u_{1} $ jako funkcja stała $ u_{2}=[(x,y)\in R^2: x^2+y^2>0] $, $ f(x,y)=\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} $ Weźmy dowolny punkt $ (x_{0},y_{0})\in u_{2} $ wtedy $ f(x_{0},y_{0})=\frac{x_{0}^2 y_{0}^2}{x_{0}^2+y_{0}^2} $ $ \lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0}) \wedge (x,y) \neq (x_{0},y_{0})} f(x,y) = $ * dla $ (x,y)\in u_{1} $ $ \lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})}0=0 $ * dla $ (x,y)\in u_{2} $ $ \lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} $ i nie wiem jak to dalej pociągnąć. Gdyby ta druga funkcja nie posiadała granicy, to biorę dwa ciągi i stąd pokazuje, że granice są sobie różne, zatem funkcja f jest nieciągła. Ale niestety wszystko wskazuje na to, że te granice są sobie równe, a więc i funkcja jest ciągła.

tumor postów: 8070	2015-01-05 16:29:13 $f$ jest ciągła na pewno poza $(0,0)$, bo wyraża się tam ilorazem wielomianów, przy tym mianownik się nie zeruje. Sprawdzamy tylko ciągłość w (0,0), czyli sprawdzamy, czy $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=f((0,0))=0$ Jeśli tak jest, to funkcja jest ciągła, jeśli granica nie istnieje albo jest różna od 0, to funkcja nie jest ciągła. Granicę funkcji policzymy może z def. Heinego. granicy funkcji Ustalmy $1>\epsilon>0$ mamy $(x_n,y_n)\to (0,0)$, czyli począwszy od pewnego $n_0$ mamy $x_n<\epsilon$ oraz $y_n<\epsilon.$ Wówczas $\frac{x_n^2y_n^2}{x_n^2+y_n^2}\le \epsilon *\frac{x^2}{x^2+y^2}\le \epsilon$ Czyli (dzięki dowolności wyboru $\epsilon$ i ciągów $x_n, y_n$) granicą funkcji jest $0$, funkcja jest ciągła.

laudika postów: 3	2015-01-05 18:46:32 dziękuję :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj