Analiza matematyczna, zadanie nr 2974
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
laudika post贸w: 3 |  2015-01-05 15:47:19Witam, mam spory problem z badaniem ci膮g艂o艣ci funkcji dw贸ch zmiennych. Zadanie wygl膮da tak: Zbadaj ci膮g艂o艣膰 funkcji $ f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} , x^2+y^2>0 \\ 0 , x^2+y^2=0 \end{matrix}\right. $. Zacz臋艂am tak: $ u_{1}=[(x,y)\in R^2: x^2+y^2=0] $ f jest ci膮g艂a dla ka偶dego punktu $ u_{1} $ jako funkcja sta艂a $ u_{2}=[(x,y)\in R^2: x^2+y^2>0] $, $ f(x,y)=\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} $ We藕my dowolny punkt $ (x_{0},y_{0})\in u_{2} $ wtedy $ f(x_{0},y_{0})=\frac{x_{0}^2 y_{0}^2}{x_{0}^2+y_{0}^2} $ $ \lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0}) \wedge (x,y) \neq (x_{0},y_{0})} f(x,y) = $ * dla $ (x,y)\in u_{1} $ $ \lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})}0=0 $ * dla $ (x,y)\in u_{2} $ $ \lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2} $ i nie wiem jak to dalej poci膮gn膮膰. Gdyby ta druga funkcja nie posiada艂a granicy, to bior臋 dwa ci膮gi i st膮d pokazuje, 偶e granice s膮 sobie r贸偶ne, zatem funkcja f jest nieci膮g艂a. Ale niestety wszystko wskazuje na to, 偶e te granice s膮 sobie r贸wne, a wi臋c i funkcja jest ci膮g艂a. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-05 16:29:13 $f$ jest ci膮g艂a na pewno poza $(0,0)$, bo wyra偶a si臋 tam ilorazem wielomian贸w, przy tym mianownik si臋 nie zeruje. Sprawdzamy tylko ci膮g艂o艣膰 w (0,0), czyli sprawdzamy, czy $\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=f((0,0))=0$ Je艣li tak jest, to funkcja jest ci膮g艂a, je艣li granica nie istnieje albo jest r贸偶na od 0, to funkcja nie jest ci膮g艂a. Granic臋 funkcji policzymy mo偶e z def. Heinego. granicy funkcji Ustalmy $1>\epsilon>0$ mamy $(x_n,y_n)\to (0,0)$, czyli pocz膮wszy od pewnego $n_0$ mamy $x_n<\epsilon$ oraz $y_n<\epsilon.$ W贸wczas $\frac{x_n^2y_n^2}{x_n^2+y_n^2}\le \epsilon *\frac{x^2}{x^2+y^2}\le \epsilon$ Czyli (dzi臋ki dowolno艣ci wyboru $\epsilon$ i ci膮g贸w $x_n, y_n$) granic膮 funkcji jest $0$, funkcja jest ci膮g艂a. |
laudika post贸w: 3 | 2015-01-05 18:46:32 dzi臋kuj臋 :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj