Algebra, zadanie nr 3041
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
adamk post贸w: 27 |  2015-01-11 22:02:54Pomo偶e kto艣? Rozpisz wzory i jak co robi膰? W Czwartek mam z tego ko艂o poprawkowe (ostatnie) i musz臋 \"za艂apa膰\" schemat 偶eby mie膰 jakiekolwiek szanse na zdanie. 1, (a) (Dziedzina) Wyznaczy膰 i naszkicowa膰 dziedzin臋 funkcji f oraz odpowiedzie膰 na pytanie: Czy dziedzina jest zbiorem: sp贸jnym, otwartym, domkni臋tym, ograniczonym, zwartym? f(x,y)=$\frac {arcsin(x-2)+y}{sqrt{(x^2)-4x+(y^2)+2y)}}$ (b)(Powierzchnia/wykres) Naszkicowa膰 i nazwa膰 powierzchni臋 o r贸wnaniu $y=sqrt{4-2x^2-z^2}$ (c) (Granice) Obliczy膰 granice iterowane funkcji f w punkcie P $f(x,y)= 2x^2sin(y+\pi)$, P=(2,3/2PI) 2. (a)(Pochodna kierunkowa) Obliczy膰 pochodn膮 kierunkow膮 funkcji f w punkcie P w kierunku wektora h. $f(x,y)=(x^2—2xy+4)Sqrt{x — 2}, P=(4,—3), h=[—2,1]$ (b) Obliczy膰 pochodne cz膮stkowe I-go rz臋du funkcji f. $f(x,y)=\frac{e^(2x-yx^2-3)}{2ln(x-9y)}$ c Wyznaczy膰 ekstrema lokanlne funkcji f. $f(x,y)= (1/x)+(x/y)+y$ 3.(Istnienie funcji uwik艂anej) Czy istnieje funkcja zmiennej y uwik艂ana r贸wnaniem $2x — e^y + 3 = 0 $w otoczeniu punktu (2, 0)? Odpowied藕 uzasadni膰, (b) (Istnienie funkcji uwik艂anej i jej pochodna/druga pochodna w punkcie) Czy istnieje funkcja zmiennej x uwik艂ana r贸wnaniem $2x — e^y + 3 = 0$ w otoczeniu punktu (2, 0)? Je艣li to mo偶liwe, to obliczy膰 f\'(2) i f\"(2). (c) (Ekstrema funkcji uwik艂anych) Wyznaczy膰 ekstrema funkcji zmiennej y uwik艂anych r贸wnaniem $x^2 + y^2 = 8x + 4y — 16 $ B臋dzie kto艣 tak wspania艂y kto si臋 tego podejmie. Wiem 偶e to du偶o pracy;/. Uratujecie moje szanse na przetrwanie. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-11 22:23:11 1. Dziedzina. W dziedzinie (podejrzewam, 偶e w $R^n$) sprawdza si臋 a) mianowniki, nie dzielimy przez zero, wi臋c maj膮 by膰 niezerowe b) pierwiastki parzystych stopni (z liczb ujemnych by艂yby zespolone, nie rzeczywiste) c) logarytmy (w podstawie logarytmu musi by膰 liczba dodatnia, r贸偶na od 1, liczba logarytmowana musi by膰 dodatnia) d) tg i ctg, bo mo偶na je rozumie膰 jako ilorazy sin i cos, czyli wyrzucamy z dziedziny punkty, gdzie si臋 mianowniki zeruj膮 e) arcsin i arccos maj膮 dziedziny $[-1,1]$ Czyli trzeba wszystkie te za艂o偶enia wypisa膰, wzi膮膰 cz臋艣膰 wsp贸ln膮 z rozwi膮za艅. Zbi贸r sp贸jny intuicyjnie mo偶esz rozumie膰 jako zbi贸r jednokawa艂kowy, niepoci臋ty. Mniej intuicyjnie: zbi贸r jest sp贸jny, je艣li nie da si臋 go podzieli膰 na dwa zbiory domkni臋to-otwarte. Otwarto艣膰 zale偶y od topologii, tu masz pewnie naturaln膮. Otwarte s膮 (w dw贸ch wymiarach) iloczyny kartezja艅skie $(a,b)\times(c,d)$, czyli kwadraty bez brzeg贸w, oraz WSZYSTKIE zbiory, kt贸re mo偶na utworzy膰 sumuj膮c takie iloczyny (niewa偶ne, ile ich trzeba posumowa膰). Lub alternatywnie: otwarte s膮 wszelkie ko艂a (o dodatnim promieniu) bez brzeg贸w oraz wszelkie sumy takich k贸艂 :) Zbi贸r domkni臋ty to taki, kt贸rego dope艂nienie jest otwarte. W $R^n $ zbi贸r zwarty jest wtedy, gdy jest jednocze艣nie domkni臋ty i ograniczony. A jest ograniczony w $R^n $na przyk艂ad wtedy, gdy istnieje promie艅 $r$ taki, 偶e ca艂y zbi贸r daje si臋 zamkn膮膰 w okr臋gu o tym promieniu. (Gdzie jest 艣rodek, to niewa偶ne) Na podstawie wskaz贸wek spr贸buj rozwi膮za膰 pierwsze zadanie. |
adamk post贸w: 27 | 2015-01-12 20:11:00 Dzi臋ki Tumor, jeste艣 wielki :D Troszk臋 to skomplikowane. Najlepiej ucz臋 si臋 na przyk艂adach, ale twoje rady b臋d膮 na pewno bardzo pomocne :) Pomo偶e kto艣 z pozosta艂ymi zadaniami? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-12 20:58:53 2. b) Pochodne cz膮stkowe licz tak, jakby wszystko poza jedn膮 zmienn膮 by艂o sta艂ymi. $f(x,y)=e^{2x-yx^2-3}*\frac{1}{2}*(ln(x-9y))^{-1}$ Czyli na przyk艂ad pochodna po x b臋dzie wygl膮da膰 tak $f_x^,(x,y)=e^{2x-yx^2-3}*(2-2yx)*\frac{1}{2}(ln(x-9y))^{-1}-e^{2x-yx^2-3}*\frac{1}{2}*(ln(x-9y))^{-2}*\frac{1}{x-9y}$ natomiast po y tak $f_y^,(x,y)=e^{2x-yx^2-3}*(-x^2)*\frac{1}{2}*(ln(x-9y))^{-1}- (ln(x-9y))^{-2}*\frac{1}{x-9y}*(-9)*e^{2x-yx^2-3}*\frac{1}{2}$ Czyli gdy liczymy po x to y traktujemy jak sta艂膮, a gdy po y, to x tak traktujemy. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-12 21:12:05 2. c) $f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{x}{y}+y$ Liczymy pochodne cz膮stkowe jak wcze艣niej $f_x^\'(x,y)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y}$ $f_y^\'(x,y)=-\frac{x}{y^2}+1$ Szukamy punkt贸w, dla kt贸rych zeruj膮 si臋 obie pochodne. Musi by膰 $y=x^2$ oraz $x=y^2$, czyli $y=y^4$, a przy tym x,y nie s膮 zerami. Dostajemy zatem punkt $(1,1)$ Liczymy drugie pochodne $f_{xx}^{\'\'}(x,y)=\frac{2}{x^3}$ $f_{xy}^{\'\'}(x,y)=-\frac{1}{y^2}$ $f_{yy}^{\'\'}(x,y)=\frac{2x}{y^3}$ Tworzymy macierz $\left[\begin{matrix} f_{xx}^{\'\'}(1,1) &f_{xy}^{\'\'}(1,1) \\ f_{xy}^{\'\'}(1,1)& f_{yy}^{\'\'}(1,1)\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 2 &-1 \\ -1& 2\end{matrix}\right]$ Je艣li wyznacznik jest dodatni (jak tu), to mamy ekstremum. Gdyby by艂 ujemny, to nie mamy, gdyby zerowy, to nie wiadomo. Je艣li ponadto $f_{xx}^{\'\'}>0$ to mamy minimum (jak tu), a gdyby $f_{xx}^{\'\'}<0$, to by艂oby maksimum. Zatem w (1,1) mamy minimum. |
adamk post贸w: 27 | 2015-01-14 21:02:23 Tu rozumiem wszystko Dzi臋ki ;p Tylko ta pochodna kierunkowa mnie troszk臋 niepokoi. NO i bladego poj臋cia nie mam o funkcjach uwik艂anych a poprawa ju偶 w pi膮tek :( |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj