Analiza matematyczna, zadanie nr 3083
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
braciaratujcie post贸w: 13 |  2015-01-19 16:49:12Witajcie, oto jedno z dw贸ch zada艅, z kt贸rymi nie mog臋 sobie poradzi膰:  By艂bym niezmiernie wdzi臋czny za pomoc! Nie zwyk艂em prosi膰 o rozwi膮zania - zawsze pracowa艂em samodzielnie, lecz teraz mam n贸偶 na gardle (czas do jutra), a przera偶aj膮 mnie te wszystkie dowody... |
braciaratujcie post贸w: 13 | 2015-01-19 17:21:17 ZGODNIE Z PRO艢B膭 O WSTAWIENIE ZADA艃 W TEX\'IE: Okre艣lamy funkcje $f : R \rightarrow R$ wzorem $f(x)= \begin{cases} 0, x = 0, \\ 0, x \not \in Q \\ \frac{1}{q}, x = \frac{p}{q} \in Q \end{cases}$ gdzie $\frac{p}{q}$ to u艂amek nieskracalny. Udowodni膰, ze $f$ jest ci膮g艂a w punkcie $x$ wtedy i tylko wtedy gdy $x \not \in Q$ lub $x = 0$. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-01-19 17:49:18 Na pocz膮tek wypada doda膰, 偶e $q$ jest liczb膮 naturaln膮, bo wcale wymierno艣ci by nie przeczy艂o, gdyby by艂o ca艂kowit膮 ujemn膮, ale w贸wczas funkcja by艂aby 藕le okre艣lona. Je艣li $x\in Q\backslash \{0\}$ to $f(x)=\frac{1}{q}$ oraz w ka偶dym otoczeniu punktu $x$ istniej膮 elementy niewymierne. Je艣li zatem przyjmiemy $0<\epsilon<\frac{1}{q}$, to nie znajdziemy otoczenia U punktu $x$ takiego, 偶e dla wszystkich $y\in U$ b臋dzie $|f(y)-\frac{1}{q}|<\epsilon$. Je艣li $x=0$, to oczywi艣cie dla $\frac{p}{q}=y\in (x-\epsilon, x+\epsilon)$ mamy $|f(x)-f(y)|=\frac{1}{q}\le \frac{|p|}{q}<\epsilon$. A teraz si臋 musz臋 zastanowi膰, jak z tymi niewymiernymi. Aha. Ustalmy $\epsilon=\frac{1}{n_0}$, gdzie $n_0$ jest pewn膮 liczb膮 naturaln膮. Oczywi艣cie $\epsilon$ jest tak naprawd臋 dowolny dodatni, ale dla udowodnienia ci膮g艂o艣ci mo偶emy go sobie dodatkowo zmniejszy膰, czyli wystarczy nam rozpatrywanie takich u艂amk贸w. We藕my $x\in R\backslash Q$, wtedy $f(x)=0$. Niech $a=max\{z\in Z: z<x\}$ $b=min\{z\in Z: z>x\}$. Niech teraz $A_n=\{y\in (a,b):f(y)=\frac{1}{n}\}$. Dla ka偶dego $n$ naturalnego zbi贸r $A_n$ jest sko艅czony. Zatem $B=\bigcup_{n\le n_0}A_n$ jest zbiorem sko艅czonym (nale偶膮 do niego wszystkie elementy zbioru $(a,b)$, dla kt贸rych $f$ przyporz膮dkowuje warto艣膰 wi臋ksz膮 lub r贸wn膮 $\epsilon$). Niech zatem $\delta=min_{y\in B}|y-x|$ (to najmniejsza odleg艂o艣膰 od punktu, kt贸rego warto艣膰 jest wi臋ksza lub r贸wna $\epsilon$). Wtedy dla $y\in (x-\delta, x+\delta)$ spe艂niony jest warunek $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. |
braciaratujcie post贸w: 13 | 2015-01-19 20:12:16 Wielkie dzi臋ki, zgadza si臋. Dla potomnych, kt贸rzy b臋d膮 szuka膰 tego w wyszukiwarce Google, dopisz臋 has艂o: Dow贸d funkcji Riemanna |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj