Analiza matematyczna, zadanie nr 319

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
wiktorwektor postów: 9	2012-01-11 12:10:45 Znajdź przedziały monotoniczności: g) $f(x)= x\sqrt{4x-x^2}$ h) $f(x)= \sin{x} + \cos{x} $, dla $x\in(0,2\pi)$ schemat rozwiązania ma być taki: - dziedzina - pochodna f'(x) - równanie f'(x) = 0 - +, -, min, max, - monotoniczność,

irena postów: 2636	2012-01-11 22:52:01 g) $f(x)=x\sqrt{4x-x^2}$ $4x-x^2\ge0$ $x^2-4x\le0$ $x(x-4)\le0$ $D_f=<0;4>$ f(0)=0 f(4)=0 $f'(x)=\sqrt{4x-x^2}+x\cdot\frac{-2x+4}{2\sqrt{4x-x^2}}=\frac{4x-x^2-2x^2+4x}{2\sqrt{4x-x^2}}=\frac{-3x^2+8x}{2\sqrt{4x-x^2}}$ f'(x)=0 $-3x^2+8x=0$ $-x(3x-8)=0$ x=0 lub $x=\frac{8}{3}$ f'(x)>0 $x\in(0;\frac{8}{3})$ $f'(x)<0$ $x\in(\frac{8}{3};4)$ $f(\frac{8}{3})=\frac{8}{3}\sqrt{4\cdot\frac{8}{3}-\frac{64}{9}}=\frac{8}{3}\cdot\sqrt{\frac{32}{9}}=\frac{32\sqrt{2}}{9}$ Funkcja rośnie w przedziale $x\in<0;\frac{8}{3}>$ Funkcja maleje w przedziale $x\in<\frac{8}{3};4>$ Maksimum lokalne (i globalne) $f_{max}=\frac{32\sqrt{2}}{9}$ dla $x=\frac{8}{3}$ Najmniejszą wartość $f_{min}=0$ funkcja przyjmuje dla x=0 oraz dla x=4 Wiadomość była modyfikowana 2012-01-11 22:52:57 przez irena

irena postów: 2636	2012-01-11 23:02:15 h) $f(x)=sinx+cosx$ $D_f=(0;2\pi)$ $\lim_{x\to0_+}f(x)=1$ $\lim_{x\to2\pi}f(x)=1$ $f'(x)=cosx-sinx$ $f'(x)=0$ $cosx-sinx=0$ $cosx=sinx$ $x=\frac{\pi}{4}\vee x=\frac{5}{4}\pi$ $f'(x)>0$ $cosx>sinx$ $x\in(0;\frac{\pi}{4}\cup(\frac{5}{4}\pi;2\pi)$ $f'(x)<0$ $x\in(\frac{\pi}{4};\frac{5}{4}\pi)$ $f(\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ $f(\frac{5}{4}\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ Funkcja jest rosnąca w przedziale $x\in(0;\frac{\pi}{4}>$ oraz w przedziale $x\in<\frac{5}{4}\pi;2\pi)$ Funkcja jest malejąca w przedziale $x\in<\frac{\pi}{4};\frac{5}{4}\pi>$ Maksimum lokalne (i globalne) $f_{max}=\sqrt{2}$ dla $x=\frac{\pi}{4}$. Minimum lokalne (i globalne) $f_{min}=-\sqrt{2}$ dla $x=\frac{5}{4}\pi$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj