Analiza matematyczna, zadanie nr 322

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
wiktorwektor postów: 9	2012-01-11 22:42:27 Wyznacz ekstrema lokalne funkcji: g) $f(x) = (x-6)^2 \cdot \sqrt[3]{x^2}$ h) $f(x) = xe^{-3x}$ i) $f(x) = 4\arctan{x} - \ln{x}$ Za pomoc dziękuję :)

tumor postów: 8070	2012-09-21 19:49:30 h)Policzmy pochodną $f`(x)=e^{-3x}-3xe^{-3x}=(1-3x)e^{-3x}$ W $x_0=\frac{1}{3}$ pochodna wynosi $0$ zmienia znak, na lewo jest dodatnia, na prawo ujemna, czyli mamy w $x_0$ maksimum lokalne, $f(x_0)=\frac{1}{3e}$

tumor postów: 8070	2012-09-21 20:45:46 g) $f(x)=x^{\frac{8}{3}}-12x^{\frac{5}{3}}+36x^{\frac{2}{3}}$ $f`(x)=\frac{8}{3}x^{\frac{5}{3}}-\frac{60}{3}x^{\frac{2}{3}}+\frac{72}{3}x^{\frac{-1}{3}}=\frac{4}{3}x^{\frac{-1}{3}}(2x^2-15x+18)=\frac{4}{3}x^{\frac{-1}{3}}(2x-3)(x-6)$ W przedziale $(-\infty,0))$ pochodna ujemna, $f$ maleje. W przedziale $(0,\frac{3}{2})$ pochodna dodatnia, $f$ rośnie. W przedziale $(\frac{3}{2},6)$ pochodna ujemna, $f$ maleje. W przedziale $(6,\infty)$ pochodna dodatnia, $f$ rośnie. W $x_0=\frac{3}{2}$ maksimum wynosi $(\frac{81}{4})(\frac{9}{4})^{\frac{1}{3}}$ W $x_1=6$ minimum wynosi $0$. W $x_2=0$ funkcja nie jest wcale różniczkowalna, więc nam się pochodna nie zeruje. Ale funkcja przyjmuje tam wartość $0$, a w otoczeniu $x_2$ jest dodatnia, więc i tam minimum.

tumor postów: 8070	2012-09-22 12:35:28 i) $f(x)=4\arctan x-\ln x $ $f`(x)=\frac{4}{1+x^2}-\frac{1}{x}$ $\frac{4}{1+x^2}=\frac{1}{x}$ $4x=1+x^2$ $0=x^2-4x+1$ $0=(x-2-\sqrt3))(x-2+\sqrt3)$ $x_1=2-\sqrt3$ $x_2=2+\sqrt3$ W przedziale $(0,2-\sqrt3)$ pochodna ujemna, funkcja malejąca. W przedziale $(2-\sqrt3, 2+\sqrt3)$ pochodna dodatnia, funkcja rosnąca. W przedziale $(2+\sqrt3, \infty)$ pochodna ujemna, funkcja malejąca. W $x=2-\sqrt3$ minimum lokalne wynosi $4\arctan(2-\sqrt3)-\ln (2-\sqrt3)=\frac{\pi}{3}-\ln (2-\sqrt3)$ W $x=2+\sqrt3$ maksimum lokalne wynosi $4\arctan(2+\sqrt3)-\ln (2+\sqrt3)=\frac{5\pi}{3}-\ln (2+\sqrt3)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj