logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 359

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

majenna19
postów: 3
2012-02-03 21:06:35

Mam prośbę. pomoże mi ktoś z tymi zadaniami. Mamy punkty A(1,2,-3) B(0,2,1) D(1,2,-6)
a) oblicz pole trójkąta ABD,
b) oblicz objętość czworościanu ABD
c)sprawdż czy trójkąt ABD jest prostokątny.
Z góry dziękuję.


majenna19
postów: 3
2012-02-03 23:07:31

mamy punkty A(1,2,-3), B(0, 2, 1), C(-2,3,1), D(1,2,-6).
a) Oblicz pole trójkąta ABC,
b) Oblicz objętość czworościanu ABCD,
c) Sprawdź, czy trójkąt ABD jest prostokątny


majenna19
postów: 3
2012-02-03 23:30:21

Proszę o pomoc. Pilne


agus
postów: 2385
2012-02-04 07:50:49

c)

/AB/=$\sqrt{(1-0)^{2}+(2-2)^{2}+(-3-1)^{2}}$=$\sqrt{17}$

/AD/=$\sqrt{(1-1)^{2}+(2-2)^{2}+(-3+6)^{2}}$=$\sqrt{9}$=3

/BD/=$\sqrt{(0-1)^{2}+(2-2)^{2}+(1+6)^{2}}$=$\sqrt{50}$

trójkąt ABD nie jest prostokątny,bo

$\sqrt{17}^{2}$+$3^{2}$$\neq$$\sqrt{50}$


agus
postów: 2385
2012-02-04 11:20:22

a)
A=($x_{A},y_{A},z_{A}$)
B=($x_{B},y_{B},z_{B}$)
C=($x_{C},y_{C},z_{C}$)

pole trójkąta ABC

$\frac{1}{2}$$\sqrt{\begin{array}{ccc}y_{A} & z_{A} & 1 \\y_{B} & z_{B} & 1 \\y_{C} & z_{C} & 1 \\ \end{array}^{2}+\begin{array}{ccc}z_{A} & x_{A} & 1 \\z_{B} & x_{B} & 1 \\z_{C} & x_{C} & 1 \\ \end{array}^{2}+\begin{array}{ccc}x_{A} & z_{A} & 1 \\x_{B} & z_{B} & 1 \\x_{C} & z_{C} & 1 \\ \end{array}^{2}}$=

=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\2 & 1 & 1 \\3 & 1 & 1 \\ \end{array}^{2}+\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\1 & -2 & 1 \\ \end{array}^{2}+\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & 1 \\-2 & 3 & 1 \\ \end{array}^{2}}$

$\begin{array}{ccc}2 & -3 & 1 \\2 & 1 & 1 \\3 & 1 & 1 \\ \end{array}$$\begin{array}{ccc}2 & -3 \\2 & 1 \\3 & 1 \\ \end{array}$=2-9+2-3-2+6=-4

$(-4)^{2}$=16

$\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\1 & -2 & 1 \\ \end{array}$$\begin{array}{ccc}-3 & 1 \\1 & 0 \\1 & -2 \\ \end{array}$=0+1-2-0-6-1=-8

$(-8)^{2}$=64

$\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\0 & 2 & 1 \\-2 & 3 & 1 \\ \end{array}$$\begin{array}{ccc}1 & 2 \\0 & 2 \\-2 & 3 \\ \end{array}$=2-4+0+4-3-0=-1

$(-1)^{2}$=1

$\frac{1}{2}$$\sqrt{81}$=4,5





agus
postów: 2385
2012-02-04 11:44:09

a)

objętość czworościanu ABCD

$\frac{1}{6}$/det $ \begin{array}{ccc}x_{A} & y_{A}& z_{A} & 1 \\x_{B} & y_{B}& z_{B} & 1 \\x_{C} & y_{C}& z_{C} & 1 \\x_{D}&y_{D}&z_{D}&1 \end{array} $ /

$ \begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 & 1 \\0 & 2 & 1 & 1 \\-2 & 3 & 1 & 1 \\1 & 2 & -6 & 1\end{array} $=

= 1$\cdot$$ \begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\3 & 1 & 1 \\-2 & -6 & 1 \end{array} $-2$\cdot$$ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\-2 & 1 & 1 \\1 & -6 & 1 \end{array} $-3$\cdot$$ \begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\-2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 1 \end{array} $-1$\cdot$$ \begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\-2 & 3 & 1 \\1 & 2 & -6 \end{array} $

$ \begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\3 & 1 & 1 \\-2 & -6 & 1 \end{array} $$ \begin{array}{ccc}2 & 1 \\3 & 1 \\-2 & -6 \end{array} $=2+2-18-2+12-3=-7

$ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\-2 & 1 & 1 \\1 & -6 & 1 \end{array} $$ \begin{array}{ccc}0 & 1 \\-2 & 1 \\1 & -6 \end{array} $=0+1+12-1-)+2=14

$ \begin{array}{ccc}0 & 2 & 1 \\-2 & 3 & 1 \\1 & 2 & -6 \end{array} $$ \begin{array}{ccc}0 & 2 \\-2 & 3 \\1 & 2 \end{array} $=0+2-4-3-0-24=-29

1$\cdot$(-7)-2$\cdot$14-3$\cdot$(-1)-1$\cdot$(-29)=-3

/-3/=3

$\frac{1}{6}\cdot3$=$\frac{1}{2}$





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj