Analiza matematyczna, zadanie nr 3596

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dziulek postów: 6	2015-09-07 16:04:51 Rozwiąż zagadnienie początkowe : a) y"-4y=10e^3x , y(0)= 3, y'(0)= -1 b) y"- 2y'+ y = e^2x, y(0)= 2, y'(0)= -3

janusz78 postów: 820	2015-09-07 19:32:25 Metod rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu II o stałych współczynnikach jest wiele. Proponuję metodę przewidywań. a) Równanie charakterystyczne: $ r^2 - 4 =0,\ \ r_{1}=-2, \ \ r_{2}=2.$ RORJ: $y_{0}= C_{1}e^-{2x}+ C_{2}e^{2x}.$ Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania nie jednrodnego (RSRN) w postaci $ y_{s}= Ae^{3x}$ $y'_{s}= 3Ae^{3x},\ \ y"_{s}= 9Ae^{3x}.$ $9Ae^{3x}-4Ae^{3x}= 10e^{3x}.$ $5Ae^{3x}= 10e^{3x},\ \ 5A =10, \ \ A=2.$ RORN $y = y_{0}+y_{s}= C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{2x}+ 2e^{3x}.$ Z warunków początkowych znajdujemy stałe $ C_{1}, \ \ C_{2}.$ $3= C_{1} e^{0}+C_{2}e^{0}+ 2e^{0},$ $C_{1}+C_{2} = 3-2 =1 $ (1) $y'= -2C_{1}e^{-2x}+ 2C_{2}e^{2x}+ 6e^{2x}.$ $-1 =-2C_{1}e^{0}+2C_{2}e^{0}+6e^{0},$ $ -2C_{1}+2C_{2}= -7$ (2) Z równań (1), (2) $C_{1}= \frac{9}{4}, \ \ C_{2}= -\frac{5}{4}.$ Rozwiązanie Cauchy ( rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego) $y =\frac{9}{4}e^{-2x}- \frac{5}{4}e^{2x}+ 2e^{3x}.$ Podobnie, a nawet identycznie rozwiązujemy równanie b).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj