Analiza matematyczna, zadanie nr 3599
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
oktawa post贸w: 4 |  2015-09-07 17:51:061. Niech $f:(a,b)\rightarrow(0,\infty)$ b臋dzie tak膮 funkcj膮, 偶e z艂o偶enie $ln\circ f$ jest wypuk艂e. Pokaza膰, 偶e $f$ jest wypuk艂a. 2. Wykazawszy, 偶e $\ln x <\frac{x}{e}$ dla $x\in(0, \infty)\backslash ${e} rozstrzygn膮膰, kt贸ra z liczb $e^{\pi}$ czy $\pi^{e}$ jest wi臋ksza. 3. Znale藕膰 ekstrema globalne funkcji $f:(0, \infty) \rightarrow R$ danej wzorem $f(x) = x^{x}, x\in(0, \infty)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-07 18:00:26 3. $x^x=e^{xlnx}$ $f`(x)=e^{xlnx}(lnx+1)$ zeruje si臋 dla $x=e^{-1}$ i nigdzie indziej. Tam minimum. Warto艣ci najwi臋kszej brak, co do艣膰 oczywiste bior膮c pod uwag臋 ci膮g $n^n$ |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-07 18:52:57 2) $\frac{x}{e}-lnx$ ma silne minimum w $x=e$ i to jedyne minimum lokalne, jest w $(0,e)$ malej膮ca i w $(e,\infty)$ rosn膮ca, wobec tego poza $x=e$ jest $\frac{x}{e}>lnx$ mamy zatem $ln \pi^e=eln \pi<e*\frac{\pi}{e}=\pi$ zatem $\pi^e<e^\pi$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-07 20:41:32 1) Z za艂o偶enia i definicji wypuk艂o艣ci funkcji $(ln\circ f)((1-t)x +ty)\leq (1-t)(ln\circ f)(x)+t(\ln\circ f)(y),$ $ ln(f(1-t)x +ty))\leq \ln((1-t)f(x)+t f(y))$ (1) dla dowolnych $(x, y)\in (a, b)$ i $0\leq t\leq 1.$ Funkcja logarytm jest funkcj膮 rosn膮c膮 w swojej dziedzinie$ (0, \infty),$ zatem z (1) wynika, 偶e $f(1-t)x +ty)\leq (1-t)f(x)+ t f(y).$ Czyli $ f $ jest funkcj膮 wypuk艂膮. c.b.d.o. Udowodnili艣my szczeg贸lny przypadek og贸lniejszego twierdzenia Je偶eli z艂o偶enie funkcji $(g\circ f)$ jest funkcj膮 wypuk艂膮 i funkcja $ g $ jest funkcj膮 rosn膮c膮, to funkcja $ f $ jest wypuk艂a. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj