Analiza matematyczna, zadanie nr 3606
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karola1010 post贸w: 46 |  2015-09-08 17:36:00Oblicz moment bezw艂adno艣ci obszaru D okre艣lonego 4<=$x^{2}$+$y^{2}$<=18 ,x <=O wzgl臋dem osi symetrii |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-08 22:09:16 Obliczymy geometryczny moment bezw艂adno艣ci wzgl臋dem osi $Oy$, traktuj膮c obszar$D $ jako jednorodny p艂aski pier艣cie艅 o g臋sto艣ci powierzchniowej $\rho(x,y)\equiv 1.$ Z definicji momentu bezw艂adno艣ci $B_{y}= \int_{D}dist^2(x,p)\rho(x,y)dl_{2}= \int_{D}dist^2(x,0)\cdot 1dl_{2} $ (1) Ca艂k臋 podw贸jn膮 (1) obliczymy, wprowadzaj膮c wsp贸艂rz臋dne biegunowe $\phi \left(\theta,\ \ r \right)= \left(r\cos(\theta), r\sin(\theta)\right).$ Jakobian tego przekszta艂cenia $det \left( D\phi(\theta, r)\right)=r.$ Niech $ G = \left\{(\theta, r): 0<\theta< 2\pi,\ \ 2< r< 3\sqrt{2} \right\}.$ Wtedy $\phi(G)= R^2 -\left\{(r,0): r< 0\right\}$ przekszta艂ca dyfeomorficznie zbi贸r $ G $ na zbi贸r $ \phi(G)$ i zgodnie z twierdzeniem o zamianie zmiennych w ca艂ce podw贸jnej oraz twierdzeniem Guido Fubiniego $B_{y}=\int_{D} dist^2(x,0)\cdot 1 dl_{2}=\int_{G} dist^2\circ \phi|det(D\phi)dl_{2} =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3\sqrt{2}} r^2\cdot r dr.$ $B_{y}= 2\pi \frac{1}{4}\left( r^4 \right)_{2}^{3\sqrt{2}}= 154\pi.$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-09-08 22:16:12 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj