Algebra, zadanie nr 3611
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
wild2nite post贸w: 4 |  2015-09-09 22:17:48Wyznaczy膰 r贸wnania stycznej i normalnej do krzywej x=lnt+z y=$t^{2}$+5t dla t=1 Nie mog臋 sobie poradzi膰 z tym zadaniem. Prosz臋 o odpowied藕. Dzi臋kuj臋 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-10 08:27:28 A czym jest $z$? Bo troch臋 tu nie pasuje. Og贸lnie pomy艣l czym jest pochodna. To tangens k膮ta nachylenia, inaczej granica ilorazu r贸偶nicowego. Nachylenie prostej stycznej do naszej krzywej to $\lim_{h \to 0}\frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{x(t_0+h)-x(t_0)}$ gdy $h$ jest du偶e, to iloraz $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ opisuje tangens k膮ta du偶ego tr贸jk膮ta, gdy h zbli偶a si臋 do 0, otrzymujemy tangens graniczny, nachylenie stycznej w punkcie. Granic臋 t臋 mo偶esz policzy膰 wprost, a mo偶esz prostym zabiegiem: $\lim_{h \to 0}\frac{\frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{h}}{\frac{x(t_0+h)-x(t_0)}{h}}=\frac{y`(t_0)}{x`(t_0)}$ $x`=\frac{1}{t}$ $x`(1)=1$ $y`=2t+5$ $y`(1)=7$ Ponadto $x_0=x(1)=z$ (nie wiem, to $z$ jest sta艂膮? Bo nie bardzo mo偶e by膰 parametrem) $y_0=y(1)=6$ A dalej jak w poprzednim zadaniu. Styczna to $y=\frac{y`(t_0)}{x`(t_0)}(x-x_0)+y_0$ a normalna $y=\frac{-x`(t_0)}{y`(t_0)}(x-x_0)+y_0$ ----- Uwaga pierwsza W poprzednim rozwi膮zaniu liczyli艣my $y=ax+b$ po kolei, najpierw $a$, potem $b$. Teraz masz gotowe wzory. We wzorach u艂amek oznacza wsp贸艂czynnik kierunkowy $a$, czyli tangens nachylenia stycznej, czyli pochodn膮. Natomiast odejmowanie $x-x_0$ i $y-y_0$ (tu $y_0$ przeniesiono od razu na prawo) zapewnia, 偶e dana prosta przejdzie przez $(x_0,y_0)$. Uwaga druga Styczna do wykresu krzywej mo偶e by膰 w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych r贸wnoleg艂a do OY, czyli \"pionowa\". W贸wczas pochodna $y`(x)$ wychodzi w takim punkcie niesko艅czona. Mo偶na jednak traktowa膰 krzyw膮 w pewnym otoczeniu tego punktu jako funkcj臋 $x(y)$ i rozwi膮za膰 zadanie analogicznie tylko na zamienionych osiach, licz膮c pochodn膮 $x`(y)$. Uwaga trzecia. Proste x=c (dla sta艂ej c) s膮 pionowe, y=d (dla sta艂ej d) s膮 poziome. Zatem w przypadku zeruj膮cej si臋 pochodnej $y`(x)$ lub $x`(y)$ jedna z nich b臋dzie styczn膮, druga normaln膮. |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-10 15:28:07 Mo偶na jeszcze inaczej. Przechodzimy na zapis r贸wnania krzywej we wsp贸艂rz臋dnych kartezja艅skich $x,y.$ Zak艂adamy, 偶e $ z $ jest sta艂膮. Z r贸wnania drugiego wyznaczamy parametr $ t = e^{x-z}$ i podstawiamy do r贸wnania pierwszego. $ y = e^{2(x-z)}+ 5e^{x-z}.$ Obliczamy warto艣膰 pierwszej pochodnej w punkcie $ P(z, 6)$ dla $ t=1,\ $ $y\'|_{x}(z, 6)= (2e^{2(x-z)}+5e^{x-z})_{(z,6)} = 7e^0 = 7.$ R贸wnanie stycznej w punkcie P $y -6 = 7(x - z),$ $ y = 7x - 7z + 6.$ R贸wnanie normalnej - prostej prostopad艂ej do stycznej w tym punkcie o wsp贸艂czynniku kierunkowym $ m=-\frac{1}{a}.$ $ y- 6 = -\frac{1}{7}(x - z),$ $ y=-\frac{1}{7}x + \frac{1}{7}z + 6.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj