Analiza matematyczna, zadanie nr 3719

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
magda2219 postów: 19	2015-10-27 15:38:43 Niech f:R^2->R oraz f(x,y)= 0 dla x=y=0 x+y+(x^3*y)/(x^4+y^2) dla (x,y)\neq(0,0) Pokazac ze f jest ciagla oraz ma pochodne cząstkowe w dowolnym punkcie R^2, ale nie jest różniczkowalna w punkcie (0,0). Pokazać,że f ma w punkcie (0,0) pochodne kierunkowe we wszystkich kierunkach.

janusz78 postów: 820	2015-10-28 20:40:14 Ciągłość funkcji $f$ Poza punktem $ (0, 0)$ ciągłość funkcji nie budzi wątpliwości. Jest ona ilorazem wielomianów dwóch zmiennych $ x,\ \ y.$ Skoncentrujemy się jedynie na zbadaniu ciągłości w początku układu, która nie jest oczywista. Rozpoczniemy od znalezienia granicy funkcji gdy $(x, y)\rightarrow (0,0).$ Przechodząc z $ x $ do zera przy ustalonym $ y $ ( i rozpatrując osobno dwa przypadki:$ y=0, y\neq 0)$ otrzymujemy $\lim_{x\to 0}f(x,y)=\lim_{x\to 0}\frac{x+y +x^3y}{x^4 + y^2}= \begin{cases} \frac{1}{y}\ \ \mbox{dla} \ \ y\neq 0\\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ y=0 \end{cases}.$ Granica iterowana $lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)$ istnieje i jest równa zeru. Badamy drugą granicę iterowaną,ustalając $ x $ i przechodząc z $ y $ do zera. $\lim_{x\to 0}f(x,y)=\lim_{x\to 0}\frac{x+y +x^3y}{x^4 + y^2}= \begin{cases} \frac{1}{x^3}\ \ \mbox{dla} \ \ x\neq 0\\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x=0 \end{cases}.$ Druga granica iterowana $lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y)$ istnieje i równa jest zero. Aby upewnić się co do istnienia granicy podwójnej (nieiterowanej) przy $ (x, y) \rightarrow 0,$ wybierzemy ciąg punktów $ (x_{n}, y_{n}) $, taki, dla którego zachodzi: $ \lim_{n\to \infty}x_{n}=0,\ \ \lim_{n\to \infty} y_{n} = 0,$ oraz $ (x_{n}, y_{n})\neq (0, 0) $, a następnie dokonujemy oszacowania: $\|f(x_{n},y_{n})\|=\left\|\frac{x_{n}+y_{n}+x_{n}^{3} y_{n}}{x_{n}^{4}+ y_{n}^{2}}\right\|\leq$ $\leq \left\|\frac{x_{n}+ y_{n}}{x_{n}^{4}+y_{n}^{2}}\right\|+ \left\|\frac{x_{n}^{3}\cdot y_{n}}{x_{n}^{4}+ y_{n}^{2}}\leq$ $\leq \left\|\frac{y_{n}^{3}}{y_{n}^{2}}\right\|+ \left\| \frac{x_{n}^{3} y_{n}^{2}}{y_{n}^{2}}\right\| =\|y_{n}\|+ \|x_{n}^{3}\| \rightarrow 0 + 0 =0.$ Z reguły trzech ciągów wynika, że zachodzi $ \lim_{n\to \infty}f(x_{n},y_{n}) =0.$ Mamy $ \lim_{(x, y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0.$ Dla zapewnienia ciągłości konieczne jest jeszcze $ f(0,0)=0$, co wynika ze wzoru funkcji $ f. $ Funkcja $ f $ jest więc funkcją ciagłą Wiadomość była modyfikowana 2015-10-28 21:57:14 przez janusz78

janusz78 postów: 820	2015-10-28 21:44:16 Istnienie pochodnych cząstkowych. Poza punktem $ (0, 0) $ pochodne cząstkowe istnieją, bo jak wspomniano przy badaniu jej ciagłości - funkcja jest ilorazem wielomianów zmiennych $(x,y).$ $ f_{\|x}(x,y) = \frac{(1+ 3x^2y)(x^4+y^2)-(x+y+x^3y)4x^3}{(x^4+y^2)^2},$ $ f_{\|y}(x,y) = \frac{(1+ x^3)(x^4+y^2)-(x+y+x^3y)2y}{(x^4+y^2)^2}.$ Badamy istnienie pochodnych cząstkowych w punkcie $(0, 0).$ $f{\|x}(0,0)= \lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h/h^4 -0}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^4}=\infty,$ $f{\|y}(0,0)= \lim_{h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h/h^2-0}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2}=\infty.$ Zatem funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie $(0,0). $ Wiadomość była modyfikowana 2015-10-28 21:52:12 przez janusz78

tumor postów: 8070	2015-10-28 22:28:56 Ja może zwrócę uwagę, że wzór funkcji to $x+y+\frac{x^3y}{x^4+y^2}$, co jest w treści zapisane wyraźnie i nic nie uzasadnia pomyłki w rozwiązaniu. Wobec tego pochodne cząstkowe są skończone. Ponadto powinieneś zauważyć, Janusz, że nieskończone pochodne byłyby sprzeczne z treścią zadania (mamy pokazać istnienie pochodnych kierunkowych, a więc w szczególności tych w kierunkach osi). Ale mało tego. Liczysz granice iterowane i ZNÓW robisz błędy w tym rodzaju zadania. Przy błędnym zapisie funkcji dla $y=0$ i $x\to 0$ mamy $\lim_{x \to 0\pm}\frac{x}{x^4}=\pm \infty$ czyli nie istnieje. Wobec czego nie ma nawet ciągłości. Piszesz jakieś wzory i potem wynik, który chciałbyś uzyskać, ale bez jakiegoś kroku pośredniego, że z tych wzorów ten wynik wynika? :) A teraz popatrzmy na szacowanie $\|f(x,y)\|\le \|y\|+\|x^3\|$ i weźmy $x=y=\frac{1}{n}$ Wychodzi $\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^2}}=\frac{2n^3+1}{1+n^2}$ i powiedz, że to jest ograniczone z góry przez $\mid \frac{1}{n}\mid +\mid \frac{1}{n^3}\mid $ Stosujesz błędne kroki, wobec czego otrzymujesz nieprawdziwe oszacowanie. (Czyli błędne przepisanie zadania, dwukrotne błędne liczenie granic iterowanych, niezauważenie sprzeczności z treścią zadania w kwestii pochodnej kierunkowej i "udowodnienie", że nieciągła funkcja jest ciągła. Do tego absurdalne oszacowanie wartości funkcji. No mega. Błędy Ci się nie zmieściły w jednym poście i dlatego rozbiłeś na dwa?)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj