Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 388

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jablkobanan92 postów: 2	2012-03-08 20:44:22 Hej, czy ktoś mógłby obliczyć następującą granicę za pomocą reguły de l'Hospitala: \lim_{x \to 1^-}(1-x)^cos\frac{\pix}{2}.Proszę... $$

tumor postów: 8070	2012-10-02 13:46:45 $ \lim_{(x \to 1^-)}(1-x)^{cos\frac{\pi x}{2}}$ Taka? Zabawna całkiem. $ \lim_{(x \to 1^-)}(1-x)^{cos\frac{\pi x}{2}}=\lim_{(x \to 1^-)}e^{ln(1-x)cos\frac{\pi x}{2}}$ Korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej możemy sobie policzyć tylko granicę wykładnika, nie będzie trzeba tyle przepisywać. $\lim_{(x \to 1^-)} ln(1-x)cos\frac{\pi x}{2}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{cos\frac{\pi x}{2}}}$ Tu widzimy, że mamy licznik i mianownik jak trzeba do de l'Hospitala. Pochodna licznika to $\frac{-1}{1-x}=\frac{1}{x-1}$ Pochodna mianownika to $-\frac{1}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}sin(\frac{\pi x}{2})\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}\frac{sin(\frac{\pi x}{2})}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}$ Liczymy $\lim_{(x \to 1^-)}\frac{\frac{1}{x-1}}{-\frac{\pi}{2}\frac{sin(\frac{\pi x}{2})}{cos^2(\frac{\pi x}{2})}}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{1}{1-x}\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{sin(\frac{\pi x}{2})}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{1}{1-x}\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{1}$ Ostatnia równość będzie prawdziwa tylko, jeśli granica po prawej stronie w ogóle istnieje. Wówczas iloraz granic będzie równy granicy ilorazu i nie musimy tym sinusem sobie głowy zawracać, skoro zbiega do $1$. :) No to sprawdzamy, czy istnieje. $\lim_{(x \to 1^-)}\frac{1}{1-x}\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{1}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{2}{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi x}{2})}{1-x}=\lim_{(x \to 1^-)}\frac{2}{\pi}\frac{\pi}{2}\frac{2cos(\frac{\pi x}{2}) sin(\frac{\pi x}{2})}{-1}=0$ Oczywiście skorzystaliśmy tu powtórnie z de l'Hospitala. Ostatecznie granica istnieje, więc wcześniejsze też istnieją. $ \lim_{(x \to 1^-)}(1-x)^{cos\frac{\pi x}{2}}=\lim_{(x \to 1^-)}e^{ln(1-x)cos\frac{\pi x}{2}}=e^{\lim_{(x \to 1^-)} ln(1-x)*cos\frac{\pi x}{2}}=e^{\lim_{(x \to 1^-)}\frac{2}{\pi}\frac{\pi}{2}\frac{2cos(\frac{\pi x}{2}) sin(\frac{\pi x}{2})}{-1}}=e^0=1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj