Analiza matematyczna, zadanie nr 399
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
tfc90 postów: 1 | ![]() mam prosbe czy moglby mi ktos pomoc.. mam do udowodnienia ze funkcji $f=\left\{\begin{matrix} exp(-(1/x^2)), gdy\quad x\neq0 \\ 0, gdy\quad x=0 \end{matrix}\right.$ nie mozna rozwinac w szereg Maclaurina |
tumor postów: 8070 | ![]() Policzmy $(e^{-\frac{1}{x^2}})`=2x^{-3}e^{-\frac{1}{x^2}}$ Rozważmy pochodne $(Cx^{-n}e^{-\frac{1}{x^2}})`=-Cnx^{-n-1}e^{-\frac{1}{x^2}}+2Cx^{-n}x^{-3}e^{-\frac{1}{x^2}}$ Jak widać, są one różnicą wyrażeń tej samej postaci, przy czym wykładniki przy $x$ maleją. Pytamy o istnienie pochodnych w 0. Jeśli nie istnieją, to oczywiście szereg Maclaurina nie istnieje. Jeśli istnieją, tzn istnieje granica $\lim_{x \to 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^k}$ dla $k>1$ naturalnego, to są równe 0 (wystarczy rozważyć ciąg $x_m=\frac{1}{2^m}$ przy m dążącym do nieskończoności). W takim przypadku rozwinięcie Maclaurina da zawsze wartość 0 (jako suma samych zer), a przecież funkcja f stała nie jest. Zatem nie musimy pokazywać, który przypadek zachodzi. :) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj