Analiza matematyczna, zadanie nr 4009

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
smyda92 postów: 23	2015-12-16 15:23:41 Proszę o pomoc w takim dowodzie: Niech $X=R,\mathcal{A} \subset 2^X,\mathcal{A}:=\{A \cap B\subset R:A-domknięty,B-otwarty,A,B \subset R \}$. Czy rodzina $\mathcal{A}$ jest: a) ciałem, b) $\sigma$ciałem podzbiorów zboru R? Jeśli $A_i$ są otwarte, a $B_i$ są domknięte,$i \in N$, to $\bigcup_{i \in N } (A_i \cap B_i)$ nie da się rozpisać jako przekrój zbioru otwartego i domkniętego wiec nie będzie sigma ciałem . Mam problem z rozpisaniem warunku addytywności i komplementarności Wiadomość była modyfikowana 2015-12-16 15:24:30 przez smyda92

tumor postów: 8070	2016-08-01 12:18:22 Rozważmy zbiór $C=\{0\}\cup (\bigcup_{k\in N} (\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}))$ jest on sumą zbioru domkniętego (czyli należącego do omawianej w zadaniu rodziny) i otwartego (czyli również należącego do rodziny). Pokażemy, że suma dwóch elementów rodziny niekoniecznie należy do rodziny, wobec czego nie będzie to ani ciało ani $\sigma$-ciało. Jeśli 0 należy do przekroju $A\cap B$, gdzie A domknięty i B otwarty, to do zbioru B należy też nieskończenie wiele liczb postaci $\frac{1}{2k+1}$ oraz $\frac{1}{2k}$ (z prawostronnego otoczenia 0), zatem co najmniej jeden przedział postaci $[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}]$ (tak, z domknięciem!) zawarty jest w B. Zarazem jednak przedział $(\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k})$ jest zawarty w A, czyli i jego domknięcie $[\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}]$ zawarte jest w A, czyli elementy $\frac{1}{2k+1},\frac{1}{2k}$ musiałyby być elementami zbioru $A\cap B$, ale nie są elementami zbioru C.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj