Analiza matematyczna, zadanie nr 4360
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
brightnesss postów: 113 | 2016-03-07 15:35:20 Pokazać, że jeśli funkcja f: [a,b]->R jest ciągła, to również funkcje: g(x)=$ min_{t \in [a,x]} $ f(t) h(x)=$ max_{t \in [a,x]} $ f(t) są ciągłe, Jakie szczególne własności mają te funkcje? |
janusz78 postów: 820 | 2016-03-07 20:21:32 Dowód Korzystamy z definicji ciągłości funkcji według Augustina Cauchy $(\epsilon-\delta).$ Z założenia funkcja $ f:[a,b]\rightarrow R $ ciągła, więc dla każdego $\epsilon >0 $ i punktu $t_{0}\in [a,x], \ \ x\leq b $ istnieje $ \delta =\delta(\epsilon, t_{0})$, taka, że dla $|h|< \delta, \ \ |f(t_{0}+h)- f(t_{0}|< \frac{\epsilon}{2}, $ Z tego wynika, że $ max_{|h|<\delta}|f(t_{0}+h)- f(t_{0})|< \epsilon $(1) Dla $|h|< \delta $ prawdziwa jest nierówność $ -max_{|h|<\delta}|f(t_{0}+h)-f(t_{0})|+ g(t_{0})\leq g(t_{0}+h)\leq g(t_{0})+ max_{|h|< \delta}f(t_{0}+h)-f(t_{0})| $ (2) Z nierówności (1) i (2) otrzymujemy $ |g(t_{0}+h)-g(t_{0})|<\epsilon$ o ile $ |h|< \delta.$ Podobnie $ -max_{|h|<\delta}|f(t_{0}+h)-f(t_{0})|+ h(t_{0})\leq h(t_{0}+h)\leq h(t_{0})+ max_{|h|< \delta}f(t_{0}+h)-f(t_{0})| $ i $ | h(t_{0}+h) -h(t_{0}|<\epsilon $ dla $h < \delta.$ c.b.d.o. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj