Teoria mnogości, zadanie nr 4372
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
geometria postów: 865 | 2016-03-10 15:15:34 Dane sa pewne zbiory A, B, C w przestrzeni X. Wiemy, ze A $\cap$B = A$\backslash$C. Czy stad wynika, ze A$\cap$C=$\emptyset$? Nie wynika, bo dla A={1, 2}, B={2, 3}, C={1} mamy A $\cap$B={2}= A$\backslash$C, czyli zachodza zalozenia. Natomiast A$\cap$C={1}$\neq$$\emptyset$, czyli teza nie zachodzi. Poprawne rozumowanie? |
tumor postów: 8070 | 2016-03-10 20:05:22 Tak, nie ma błędów. |
geometria postów: 865 | 2016-03-11 22:00:27 Dziekuje. |
geometria postów: 865 | 2016-03-12 10:14:05 A czy stad wynika, ze A$\backslash$(B$\cup$C)=$\emptyset$? Chcialbym przeprowadzic dowod nie wprost. Przypuscmy, ze teza nie zachodzi, czyli A$\backslash$(B$\cup$C)$\neq$$\emptyset$. Wiec istnieja elementy wspolne. Jakie kroki poczynic dalej? |
tumor postów: 8070 | 2016-03-12 14:49:39 istnieje x należący do $A$ oraz nienależący do $B\cup C$ Wówczas oczywiście x nie jest elementem $A\cap B$ (bo nie jest elementem $B$), ale jednocześnie x jest elementem $A\backslash C$ (bo jest w $A$ i nie jest w $C$), wobec tego te zbiory nie mogą być równe. |
geometria postów: 865 | 2016-03-12 16:54:34 Czyli wyszla sprzecznosc z zalozeniem, ze te zbiory sa rowne. Zatem odpowiedzia jest, ze wynika. Ale nie rozumiem tego, ze wyszlo, ze nie sa rowne ale jak ma sie to do elementow wspolnych? Byla potrzeba zakladania, ze teza nie zachodzi? |
tumor postów: 8070 | 2016-03-12 18:17:17 Jakie elementy wspólne? Jeśli $A\backslash (B\cup C)$ niepusty, to istnieją elementy w A, których nie ma w C i w B. Doszliśmy do tego, że zbiory $A \cap B$ i $A\backslash C$ nie mogą być równe. $p \Rightarrow q$ jest równoważne $\neg q \Rightarrow \neg p$ zatem skoro zaprzeczyliśmy q i wyszło zaprzeczenie p, to równie dobrze, jeśli przyjęlibyśmy p (to znaczy równość zbiorów z założenia w treści zadania) to otrzymujemy q (czyli $A\backslash (B\cup C)=\emptyset$) |
geometria postów: 865 | 2016-03-13 13:10:44 A czy stad wynika, ze A$\cap$B$\cap$C=$\emptyset$? d-d nie wprost Przypuscmy, ze A$\cap$B$\cap$C$\neq$$\emptyset$, czyli istnieje przynajmniej jeden element nalezacy do tego zbioru. Z definicji iloczynu zbiorow mamy, ze x (dowolny) musi nalezec jednoczesnie do wszystkich trzech zbiorow. Ale z zalozenia wiemy, ze element ten nalezy do zbioru A$\cap$B ale nie nalezy do zbioru A$\backslash$C, czyli jest sprzecznosc z zalozeniem, ze te zbiory sa rowne w wyniku czego zbior A$\cap$B$\cap$C bylby pusty (bo element x nie nalezalby do zbioru C) co tez jest sprzeczne z zalozenia o tezie. Zatem wynika zbior A$\cap$B$\cap$C jest pusty. Poprawne rozumowanie? |
tumor postów: 8070 | 2016-03-13 14:30:22 Tak, jest ok. Można też wprost. $A\cap B = A\backslash C$ czyli $A \cap B = A\cap C`$ czyli $A \cap B \subset C`$ stąd już oczywiste, że $A \cap B \cap C = \emptyset$ |
geometria postów: 865 | 2016-03-13 18:02:47 Albo tak A$\cap$B$\cap$C=A$\cap$C'$\cap$C=A$\cap\emptyset$=$\emptyset$. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj