Geometria, zadanie nr 438
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| bratola postów: 4 |  2012-05-25 11:04:54Potrzebuje pomocy do zadania: Oblicz, jaką maksymalną część objętości kuli może zajmować wpisany w nią ostrosłup prawidłowy czworokątny. |
| tumor postów: 8070 | 2012-10-11 21:57:08 Niech $R$ - promień kuli Objętość kuli to oczywiście $\frac{4}{3}\pi R^3$ Oznaczmy przez $H$ wysokość ostrosłupa, przez $L$ jego krawędź boczną, przez $A$ krawędź podstawy, przez $\alpha$ kąt między $H$ a $L$. $\frac{L}{2R}=cos\alpha$ $L=2Rcos\alpha$ $\frac{H}{L}=cos\alpha$ $H=Lcos\alpha=2Rcos^2\alpha$ $\frac{\frac{A\sqrt{2}}{2}}{L}=\frac{A}{\sqrt{2}L}=sin\alpha$ $A=\sqrt{2}Lsin\alpha$ $A^2=2L^2sin^2\alpha=8R^2sin^2\alpha cos^2\alpha$ Objętość ostrosłupa to $\frac{1}{3}A^2H=\frac{1}{3}8R^2sin^2\alpha cos^2\alpha*2Rcos^2\alpha=\frac{16}{3}R^3(1-cos^2\alpha)cos^4\alpha$ Niech $y=cos^2\alpha$, $0<y<1$ $(1-y)y^2$ ma maksimum w $y=\frac{2}{3} $ równe $ \frac{4}{27}$ Wówczas objętość ostrosłupa wynosi $\frac{16}{3}R^3*\frac{4}{27}= \frac{4}{3}R^3\frac{16}{27}$ Objętość ostrosłupa stanowi maksymalnie $\frac{16}{27\pi}$ objętości kuli. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj